国科大刘玉贵老师 2023算法设计与分析速通期末考试

本文参考：国科大刘玉贵老师计算机算法设计与分析2021年期末
国科大2022计算机算法设计与分析期末考试-刘玉贵老师

一、填空

1. 下面说法，正确的是：（1，3）.
   (1)P类问题是存在多项式时间算法的问题。 (2)NP类问题是不存在多项式时间算法的问题。
   (3)P类问题一定也是NP类问题。 (4)NP类问题比P类问题难解。

2. 下面说法，正确的是：（2）.
   (1)P$\subset$NP (2)P$\subseteq$NP (3)P=NP (4)P≠NP

3. 下面说法，正确的是：（2，3，4）.
   (1)NP-难问题是NP中最难的问题
   (2)NP-完全问题是NP中最难的问题
   (3)NP-难不比任何NP问题容易
   (4)NP-完全问题也是NP-难问题。

4. 下面属于模拟退火算法实现的关键技术问题的有（1，2，3）。
   (1)初始温度 (2)温度下降控制 (3)邻域定义 (4)目标函数

5. 下面属于遗传算法实现的关键技术问题的有（1，4）。
   (1)解的编码 (2)初始种群的选择 (3)邻域定义 (4)适应函数

6. 设Las Vegas算法获得解的概率为p(x) ≥ $\delta$ , 0 < $\delta$ < 1，则调用 k 次算法后，获得解的概率为：$1-(1-\delta {)}^k$。

7. 对判定问题$\prod$的Monte Carlo算法，当返回false时解总是正确的，但当返回true时解可能有错误，该算法是(2)。当返回true时解总是正确的，但当返回false时解可能有错误，该算法是(1)。
   (1)偏真的Monte Carlo算法 (2)偏假的Monte Carlo算法
   (3)一致的Monte Carlo算法 (4)不一致的Monte Carlo算法

8. 皇后问题，每一个皇后的位置无任何规律，要求求得一个解即返回。下面合适的方法有（2，4）
   (1) 贪心算法 (2)回溯算法
   (3)分枝限界算法 (4) Las Vegas 算法

9. 为避免陷入局部最优(小)，模拟退火算法以概率 $e^{-\frac{\Delta f_{ij}}{t_k}}$ 接受一个退步(比当前最优解差的)的解，以跳出局部最优。试说明参数 $t_k$、$\Delta f_{ij}$ 对是否接受退步解的影响。
   答： $t_k$越高接受的概率越大，$\Delta f_{ij}$越小接受退步解的概率越大。

10. 用遗传算法解某些问题，fitness=f(x)可能导致适应函数难以区分这些染色体。请给出一种解决办法？
    答：排序适应函数：$p(i)=\frac{2i}{m(m+i)}$
    线性加速适应函数：fitness(x)=$\alpha$f(x)+$\beta$f(x)等。

11. 用非常规编码染色体实现的遗传算法，如TSP问题使用1,2,…,n的排列编码，简单交配会产生什么问题？如何解决？
    答：简单交配可能产生非解编码(染色体)。
    解决办法:改变交配规则，如交配位后基因按异方基因顺序选取不重复基因、不变位法等。

12. 设旅行商问题的解表示为D=F={S|S=(i1,i2,…,in),i1,i2,…,in是1,2,…,n的一个排列},邻域定义为2-OPT，求s=(3,1,2,4)的邻域N(s)。
    对于给定的解s=(3,1,2,4)，如果考虑所有可能的2-OPT邻域，可以生成如下的排列：
    交换城市1和城市2的位置:(1,3,2,4)
    交换城市1和城市3的位置:(2,1,3,4)
    交换城市1和城市4的位置:(4,1,2,3)
    交换城市2和城市3的位置:(3,2,1,4)
    交换城市2和城市4的位置:(3,4,2,1)
    交换城市3和城市4的位置:(3,1,4,2)
    综上得N(x) = {(1,3,2,4),(2,1,3,4),(4,1,2,3),(3,2,1,4),(3,4,2,1),(3,1,4,2)}

    由于旅行商问题的对称性，如果考虑非等价的邻域，则有：
    交换城市1和城市2的位置: (1,3,2,4)
    交换城市2和城市3的位置: (3,2,1,4)
    交换城市3和城市4的位置: (3,1,4,2)
    综上得N(x) = {(1,3,2,4),(3,2,1,4),(3,1,4,2)}

13. 0/1背包问题的解X=(x1,x2,…,xn)，xi∈{0,1}，邻域定义为N(x)={Y| }，X=(1,1,0,0,1)，求N(X)。
    给定X=(1,1,0,0,1)，我们可以应用邻域定义来找到N(X)
    翻转x1 ：(0,1,0,0,1)
    翻转x2 ：(1,0,0,0,1)
    翻转x3 ：(1,1,1,0,1)
    翻转x4 ：(1,1,0,1,1)
    翻转x5 ：(1,1,0,0,0)
    综上得N(x) = {(0,1,0,0,1),(1,0,0,0,1),(1,1,1,0,1),(1,1,0,1,1),(1,1,0,0,0)}

14. 考虑下面的函数f(n)和g(n) ,比较他们的阶
    
    (1)g(n)=O(f(n)) (2)f(n)=O(g(n)）
    (3)f(n)=O(g(n)) (4)f(n)=O(g(n))

二、判断

1. Las Vegas算法不会得到不正确的解。(√)
2. Las Vegas算法总能求得一个解。(×)
3. Monte Carlo算法不会得到不正确的解。(×)
4. Monte Carlo算法总能求得一个解。(√)
5. 一般情况下，无法有效判定Las Vegas算法所得解是否肯定正确。（×）
6. 一般情况下，无法有效判定Monte Carlo算法所得解是否肯定正确。（√）
7. 虽然在某些步骤引入随机选择，但Sherwood算法总能求得问题的一个解，且所求得的解总是正确的。 (√)
8. 虽然在某些步骤引入随机选择，但Sherwood算法总能求得问题的一个解，但一般情况下，无法有效判定所求得的解是否正确。 (×)
   [助记]：以下纯为考试记忆，不对算法做过多探讨
   Monte Carlo算法是蒙的，所以肯定有答案，就是不知道对错
   Las Vegas算法想到last才想出来，一定是对的，但是能不能想出来就另说了
   Sherwood算法引入随机性，舍弃了精确性，所以肯定有解，且为正解，但是精确性有待考量
9. 旅行商问题存在多项式时间近似方案。( × )
10. 0/1背包问题存在多项式时间近似方案。( √ )
11. 0/1背包问题的贪心算法(单位价值高优先装入)是绝对近似算法。(× )
12. 多机调度问题的贪心近似算法(按输入顺序将作业分配给当前最小负载机器)是$ϵ$-近似算法。( √ )
13. 禁忌搜索中，禁忌某些对象是为了避免邻域中的不可行解。( × )
14. 禁忌长度越大越好。( × )
15. 禁忌长度越小越好。( × )

三、简答

1. 简述算法主要步骤

禁忌搜索算法

基本思想：禁忌搜索算法是局部搜索算法的扩展，用一个禁忌表记录下已经到达过的局部最优点，在下一次搜索中，禁忌表中的信息不再或有选择地搜索这些点，以此来跳出局部最优点。

• Step1 选定一个初始可行解$x^{cb}$；初始化禁忌表H={};
• Step2 若满足停止规则，停止计算；
  否则，在$x^{cb}$的邻域中选出满足禁忌要求的候选集Can_N($x^{cb}$)，从该候选集中选出一个评价值最佳的解$x^{lb}$；令$x^{cb}$ =$x^{lb}$。
• 更新记录H，重复Step2。

模拟退火算法（21考）

基本思想：模拟退火算法是局部搜索算法的扩展，以一定的概率选择邻域中费用值大的状态(求最小)。理论上是一个全局最优算法。

• Step1.任选一个初始解$x_0$；$x_i=x_0$；k:=0；$t_0=t_{max}$(初始温度)；
• Step2. 若在该温度达到内循环停止条件，则转Step3；
  否则，从邻域N($x_i$)中随机选择一$x_j$，计算$\Delta f_{ij}=f(x_j)-f(x_i)$；
  若$\Delta f_{ij}$ ≤ 0，则$x_i=x_j$，
  否则，若$e^{-\frac{\Delta f_{ij}}{t_k}}$>random(0,1)时，$x_i:=x_j$，重复Step2。
• Step3. $t_{k+1}:=d(t_k)$；k:=k+1；若满足停止条件，终止计算；否则，回到Step2。

遗传算法（22考）

• Step1 选择问题的一个编码、给出一个有N个染色体的初始群体 pop(1)={popj(1)|j=1,2,…,N}, t:=1;
• Step2 对群体pop(1)中的每个染色体$po{p}_i(t)$计算它的适应性函数 fi=fitness($po{p}_i(t)$);
• Step3 若停止规则满足，则算法停止；否则，计算概率 $p_i=\frac{f_i}{{\sum }_{1\le j\le N}^{}{f}_j(\ast )}$ ，并以概率分布(*)从pop(t)中随机选出N个染色体(可能有重复)，形成一个种群newpop(t+1)={popj(t)|j=1…N)}。
• Step4 通过交叉(交叉概率为$P_c$)得到一个有N个染色体的种群crosspop(t+1);
• Step5 以一个较小的概率p，使得染色体的一个基因发生变异，形成种群 mutpop(t+1); t:=t+1, 一个新的群体诞生pop(t):=mutpop(t);
• 转到Step2。

2.基于贪心规则写近似算法，并求算法的近似比(不要求证明)

多机调度问题（21、22考）

按照以下步骤进行贪心算法的求解

• Step1 将所有作业按照执行时间从大到小排序
• Step2 将第一个作业分配给第一台机器执行;
• Step3 对于接下来的每一个作业，选择当前剩余执行时间最短的机器进行分配
• Step4 重复Step3，直到所有作业都被分配。
  近似比= $\frac{3}{2}$ ，
  
  感谢同学的指正：GMPS是2近似算法，上面的DGMPS是改进的贪心近似，近似比为3/2

这种贪心算法的正确性可以通过反证法证明。假设存在一种更优的调度方案，使得所有作业的完成时间更短。那么在这个调度方案中，必然存在某个作业在执行时会被分配到一个执行时间更长的机器上，从而导致整个调度方案时间更长。因此，原来的方案就是最优的。

顶点覆盖问题

基于贪心的近似算法步骤如下：

• Step1 初始化 C=∅。（一个空的集合）, E ′=E（所有的边）。
• Step2 选择 e=(u,v) 是 E ′中的任意一条边。
• Step3 将 u 和 v 都加入 C。
• Step4 从 E ′ 中移除所有与 u 或 v 相关的边
• Step5 重复Step2、Step3、Step4，直至E ′=∅ 。

近似比= 2。这个贪心算法找到的解的大小最多是最优解的两倍。
考虑任何一条边 e=(u,v)，当这条边被选择时，我们都至少需要选择其中一个顶点来覆盖它。所以，每选择一条边，我们都会覆盖两个顶点（即 u 和 v）。但是，这两个顶点可能重复被其他边覆盖，所以我们最多覆盖两倍的顶点。

3.NPC证明

相遇集问题是 NP-C问题（21考）

例：给定集合S 的一个子集族C 和一个正整数 K ；
问： S 是否包含子集 S’，| S’|≤ K ，使得 S’与C 中的任何一个子集的交均非空？（ S’称为C 的相遇子集）试判定相遇集问题是 P 类的还是 NP 完全的

证明：
首先证明相遇集问题$\in NP:$
给定$S\prime \subseteq S$，验证$\mid S\prime \mid \le K$，需要$\min S\mid =O(0)$时间，验证任给$c\in C，S\prime \cap c$非空可在$\mid C\mid \ast \mid c\mid \ast \mid S\prime \mid =\mid C\mid \ast n^2$内完成，所以问题是多项式可验证的，因此相遇集问题$\in NP$
再证顶点覆盖问题$\propto \mid c\mid =2$的相遇集问题:
任给图$G(V,E)，设E=(x_1,y_1),(x_2,y_2)\cdot \cdot \cdot (x_m,y_m)，$$令S=V$，
$C=(x_1,y_1),(x_2,y_2)\cdot \cdot \cdot (x_m,y_m)$，那么，若G存在定点覆盖$V\prime ，\mid V\prime \mid \le K$，则$V\prime$ 覆盖$E$的每条边的至少一个顶点，即$V\prime$ 包含$x_i,y_i$至少一个，$i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,m$。
取$S\prime =V\prime$ ，显然，$S\prime$ 与$C$中任意子集$x_i,y_i$交集不为空。
反之，若存在相遇集$S\prime$ ,则令$V\prime =S\prime$ ，由于$S\prime$ 与$C$中子集交不为空，则$S\prime$ 必含有$x_i,y_i$之一，说明他是$G$的定点覆盖。因此$\mid c\mid =2$的相遇集问题是NP难问题，所以相遇集问题$\in NP-H$
综上所述，相遇集问题$\in NPC$

独立集问题是 NP-C问题

例：对于给定的无向图G = (V, E)和正整数k ≤ |V|
问 ： G 是否包含一个于 k-独立集 V ’ ，即是否存在一个子集V ’ ⊆ V, | V ’ |= k ，使得V '中的任何两个顶点在图中G 都不相邻。

证明：
$$\begin{gathered} 首先证明独立集问题\in NP: \\ 给定V\prime \subseteq V，\mid V\prime \mid =k，验证V\prime 中的任意两顶点在图G中是否相邻，需要将图遍历一遍，可以在多项式时间内完成， \\ 所以问题是多项式可验证的，因此独立集问题\in NP \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 再证3SAT\propto 独立集问题: \\ 对任意C_j=Z_1\wedge Z_2\wedge Z_3，j=1,2,\dots m,构造以z_1,z_2,z_3为顶点的三角形， \\ 若顶点z_i和z_l \\ 为某x_k和\neg x_k则增加连接边，构成图G。若3SAT有成真赋值，对每个C_j=1，必有某个z_l=1，将该元素对应顶点选入S, \\ S一定是独立集，因为该顶点仅与\neg z_l相连，\neg z_l=0,在另一三角形中不会被选中。|S|=m。 \\ 反之，若存在独立集S，|S|=m，则每个三角形必须取一个点，因为取两个则不独立，不取则<m。 \\ 令if取点对应的z_i=x_k,x_k=1;z_i=\neg x_k,x_k=0,由于x_k与\neg x_k之间有边， \\ 不可能同时取到，上述赋值不矛盾。如果(x_1,x)2,\dots ,x)n)里有未赋值着， \\ 可任意赋值。则对任意C_j=Z_1\wedge Z_2\wedge Z_3,取点z_i=1,C_j可满足综上所述，独立集问题\in NPC \end{gathered}$$

[注]：不会做，直接背吧，有兴趣的可自行学习
典型NPC问题及其证明
算法设计与分析笔记之独立集问题
【计算理论】计算复杂性 ( 无向图独立集问题 | 独立集问题是 NP 完全问题证明思路 | 证明独立集问题是 NP 完全问题 )

0/1 背包判定问题是NP-C问题（22考）

已知带权集合的划分问题是 NP-C 问题，试证明 0/1 背包判定问题是NPC问题（22考）

例：给定一个m× n矩阵 A和一个m 元整数向量b 以及n维列向量C，整数D，使得AX≤b，且$C^T$X≥D）；
问：是否存在一个n 元 0/1 向量 x ，使得 Ax ≤ b ？

证明：
首先证明原问题$\in NP：$
任给X，原问题的判定$AX\le b$和$C^{T}X\le D$需计算$m{n}^2+n$次乘法和加法及2次比较，可在多项式时间内完成，所以原问题$\in NP$。
将矩阵A和b的各行取相同值$a_{11},a_{12},\dots a_{1n}$和$b_1$，
则问题变为：判定是否存在X，$a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\dots a_{1n}{x}_n\le b_1$，
判定且$C^{T}X\ge D$问题,这就是0/1背包判定问题。
0/1背包判定问题是NPC，所以这个特殊整数规划问题也是NPC问题，从而一般的整数规划问题是NPC问题.
综上所述， 0/1 背包判定问题是NPC问题

TSP判定问题是NPC问题

已知Hamilton圈问题是NPC问题，证明TSP判定问题是NPC问题

证明：
首先证明TSP问题是NP问题：
$$\begin{gathered} 任给一个图G=(V,E)的一个顶点排序v_1{v}_2..v_n和数L，验证(v_i,v_{i+1})\in E和(v_n,v_1)\in E \\ 可在O(n\ast |E|)\le O(n^3)完成，验证路径和\le L需0(n)时间，所以TSP\in NP问题。 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 对于Hamilton问题实例I，其图为G=(V,E)，构造一个新的图G_1=(V,E_1)它是一个完全图， \\ 各边赋权如下：若(u,v)\in E,w(u,v)=1;否则w(u,v)=k>1。L=n是G的顶点数，得到旅行商问题实例I。 \\ 则图G有Hamilton回路当且仅当图G_1有长为n的环游路线。 \\ 因为，若G有Hamilton回路，则取此回路为G_1的解， \\ 环路长度=n。反之，若G_1存在一条长度<=n的环游回路，则回路的每条边权值一定为1， \\ 否则回路长>n。这说明，TSP的回路全在G的边E中，取此正是G的一条Hmilton回路。 \end{gathered}$$
Hamilton圈问题是NPC，所以旅行商问题也是NPC问题。

4.读程序,并使用迭代法分析程序的时间复杂度

• 考虑此部分最近两年的考题都来自PPT，翻阅PPT后发现分治算法的PPT中还有：
  • 快排最差 T(n)=T(n-1)+n-1=O(n^2)
  • 快排最优 T[n] = 2T[n/2] + n=O(nlogn)
  • 2路归并 $T(N)=\left\{\begin{array}{c}0，N<=1\\ 2T(\frac{N}{2})+C(N)，N>1)\end{array}\right\}$

快速傅里叶变换（21考）

	Proc FFT(N, a,w,A)
     # N=2n,w是n次单位根，a是已知的N元数组，代表多项式a(x)的系数，
     # A是计算出来的N元数组，A[j]=a(wj), j=0,1,…,N-1.
       real b[ ], c[ ];  int j;
       complex B[ ], C[ ], wp[ ];
       if  N=1 then A[0]:=a[0];
       else
          n:=N/2;
          for j from 0 to n-1 do
            b[j]:=a[2*j+1];  c[j]:=a[2*j];
          end{for}
       end{if}
       FFT(n,b,w*w,B);
       FFT(n,c,w*w,C);
       wp[0]:=1;
       for j from 0 to n-1 do
           wp[j+1]:=w*wp[j];
           A[j]:= C[j]+B[j]*wp[j];
           A[j+n]:= C[j]-B[j]*wp[j];
       end{for}
     end{FFT} 

这个式子考试不会给，需要自己推：
$T(N)=\left\{\begin{array}{c}a，N=1\\ 2T(\frac{N}{2})+C(N)，N>1)\end{array}\right\}$

一维最接近点对（22考）

    proc ClosPair1(S，d)
    //S是实轴上点的集合，参数d表示S中最  //近对的距离
        global S,d;     integer n;     float m,p,q;
        n:=|S|;
        if n<2 then d:=; return(false); end{if}
        m:=S中各点坐标的中位数；
        //划分集合S
        S1:={x∈S| x<=m};  S2:={x∈S| x>m};
        ClosPair1(S1,d1);
        ClosPair1(S2,d2);
        p:=max(S1);  q:=min(S2);
        d:=min(d1,d2,q-p);
        return(true);
    end{ClosPair1}

$T(N)=\left\{\begin{array}{c}a，n<4\\ 2T(\frac{N}{2})+C(N)，n>=4)\end{array}\right\}$

四、算法

1. 贪心(需要证明最优解)

建基站(22考)

设有一条边远山区的道路AB，沿着道路AB分布着n所房子。这些房子到A的距离分$d_1,d_2,\dots ,d_n(d_1<d_2<\dots <d_n)$。为了给所有房子的用户提供移动电话服务，需要在这条道路上设置一些基站。为了保证通讯质量，每所房子应该位于距离某个基站的4Km范围内。设计一个算法找基站的位置，并且使得基站的总数最少。证明算法的正确性.

• 贪心算法：首先在$d_1+4$处建立基站，然后对$d_2,d_3,\dots d_n$依次检查，找到下一个不能被该基站覆盖的房子。如果$d_k<=a_1+4$但$d_{k+1}>a_1+4$,那么第k+1个房子不能被基站覆盖，于是取$a_2=d_{k+1}+4$作为下一个基站的位置，照此下去，直到检查完dn为止。
• 正确性证明：
  归纳法：对任何正正整数k，存在最优解包含算法前k步选择的基站位置。
  证明：k=1，存在最优解包含a[1]。若不然，有最优解OPT，
  其第一个基站位置是b[1]，b[1]≠a[1]。那么$d_1$-4≤b[1] B[1]覆盖的是距离在[d1,b[1]+4]之间的房子。A[1]覆盖的是距离[d1,a[1]+4]的房子，
  因为b[1] 假设对于k存在最优解A包含算法前k步的选择的基站，即A={a[1],a[2]…a[k]}∪B，
  其中a[1],a[2]…a[k]覆盖了距离d1,d2,…,dj的房子，那么B是关于L={dj+1,dj+2,…,dn}的最优解。
  否则，存在关于L的最优解B*，那么用B替换B得得到A，且|A*|<|A|，与A是最优解矛盾。
  根据归纳假设，L有一个最优解B/={a[k+1],…,}，|B/|=|B|。
  于是，A/={a[1],a[2],…,a[k]}∪B/= {a[1],a[2],…,a[k+1]…}也是最优解，
  且|A|=|A/|，从而证明了结论对k+1也真。证毕。
  算法复杂度 T(n)=O(n)。

    /*
     * 接收一个数组D 其中元素di表示到A的距离，元素数为村庄数
     * 返回一个数组nums 其中元素为基站到A的距离,元素数为基站数
     * 算法只包含一次对房屋数组D的遍历，故时间复杂度为O(n)
     * */
    public ArrayList<Integer> jianJiZhan(int[] D) {
        ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();//不知道建设多少基站，用集合list存储基站到A的距离
        if (D.length == 0) return list;//D中没有村庄，返回空list
        list.add(D[0] + 4);//建设第一个基站
        int dis = list.get(0);//dis表示当前基站到A的距离
        for (int i = 0; i < D.length; i++) {//遍历房屋数组D
            if (D[i] >= dis + 4) {//如果下一房屋到当前基站的距离大于4
                list.add(D[i] + 4);//则在下一房屋之后的4处建基站
                dis = D[i] + 4;//更新最新基站到A的距离
            }
        }
        return list;
    }

test检测作业(21考)

有n个进程p1,p2,…,pn，进程pi的开始时间为s[i]，截止时间为d[i]。可以通过检测程序Test来测试正在运行的进程，Test每次测试时间很短，可以忽略不计，即，如果Test在时刻t测试，那么它将对满足s[i]<=t<=d[i]的所有进程同时取得测试数据。问：如何安排测试时刻，使得对每个进程至少测试一次，且Test测试的次数达到最少？设计算法并证明正确性，分析算法复杂度。

class Program implements Comparable<Program>{
        private Integer start;
        private Integer end;
        public Program(Integer start, Integer end) {
            this.start = start;
            this.end = end;
        }
        @Override
        public int compareTo(Program o) {
            return this.end.compareTo(o.end);
        }
    }
    /*
    * 将进程按照结束时间排序
    * 取第一个进程的结束时间为测试点t
    * 再取下一个开始时间大于t的进程的结束时间作为测试点t
    * 直至遍历完成
    * 进行一次遍历，耗时为O(n)
    * 进行排序，故综合时间复杂度为O(nlogn)
    * 接收一个无序数组T，其中元素表示进程P的结束时间
    * 返回一个list表示测试点
    * */

    public ArrayList<Integer> Test(Program[] P){
        ArrayList<Integer> list = new ArrayList<>();//用list存储测试点
        if (P.length<1)return list;//没有程序，直接返回空list
        Arrays.sort(P);//按结束时间进行排序,Program重写了CompareTo方法，以end为比较对象
        int t = P[0].end;
        list.add(t);
        for (int i = 1; i < P.length; i++) {//遍历所有程序
            if (P[i].start>t) {//如果程序的开始时间大于测试点t
                t=P[i].end;//更新测试点为该程序的结束时间
                list.add(t);//将测试点加入集合list
            }//否则继续遍历至终止
        }
        return list;
    }

• 用归纳法证明其正确性:任给k，存在最优解包含算法前k步选择的结果。
  证明:任给k，存在最优解包含算法前k步选择的结果。
  $证明:任给k，存在最优解包含算法前k步选择的结果。证明：k=1，设s=t[i_1],t[i_2]，\dots 是最优解，则一定t[i_1]<t[1],否则t[i_1]不能测试d[1]的进程。设p_u是在时刻t[i_1]被检测到的任意进程，则s[u]\le t[i_1]\le d[u]，从而s[u]\le t[i_1]<t[1]=d[1]\le d[u]，因此，p_u也可以在t[1]时刻被测试，在s中将t[i_1]替换为t[1]也是最优解。$
  $假设结论对k成立，则存在最优解T=t[1],t[2],\dots ,t[k]\cup T\prime 。设算法前k步选择的测试点不能测到的进程构成集合Q\subseteq P，P是全部进程集合，那么T\prime 是问题Q的最优解。根据归纳假设，存在Q的最优解T\ast 包含测试点t[k+1]，即T\ast =t[k+1]\cup T\prime \prime ，因此，t[1],t[2],\dots ,t[k]\cup T\ast =t[1],t[2],\dots ,t[k],t[k+1]\cup T\prime \prime 也是原问题的最优解，得证$

罚款

设有作业集合J={1,2,…,n}，每项作业的加工时间都是1，所有作业的截止时间是D。若作业i在D之后完成，则称为被延误的作业，需赔偿罚款m(i)(i=1,2,…n)，这里D和m(i)都是正整数，且n项m(i)彼此不等。设计一个算法求出使总罚款最小的作业调度算法，证明算法的正确性并分析时间复杂度。

/*
     * 类似于顾客等待问题，按照罚款金额降序排列，先完成罚款金额大的作业
     * 排序后，在有限的时间D内，完成尽可能多的高罚款作业，即依次完成作业
     *
     * 接收一个无序数组m表示罚款额，一个int类型的D表示截至时间
     * 返回一个int类型W表示罚款总金额
     *
     * 只有一次遍历，和一次排序，故时间复杂度为O(nlogn)
     * */

    public int faKuan(int[] m, int D) {
        int W = 0;//W表示罚款总额
        if (m.length < 1) return W;//没有作业，返回0
        Integer[] M = Arrays.stream(m).boxed().toArray(Integer[]::new); //将int数组转换成Integer数组
        Arrays.sort(M, Collections.reverseOrder());//降序排列
        for (int i = D; i < M.length; i++) {//从D开始以后的作业都会被罚款
            W += M[i];
        }
        return W;
    }

• 正确性证明：交换论证。设算法选择的作业调度ｆ的安排次序是，那么罚款为F(f)= ，任给k<=D=m(ij)。显然最优调度没有空闲时间，不妨设作业是连续安排的。每项作业的加工时间都是1，在D之前可完成D项作业，在D之后安排的n-D项作业iD+1,iD+2,…,in是被罚款的作业。
  设算法得到的安排不是最优的，则存在一个最优调度f*，它的前D个作业包含了至少1个作业ij，j>D，从而至少有一个作业ik，k<=D被安排在了D之后。交换ik,ij得到新的调度f**，则F(f*)-F(f**)=m(ik)-m(ij)≥0，说明f** 也是最优调度，但f**与f的前D个相同作业多了1个，依次进行，可得最优作业与f相同，得证。

顾客等待

设有 n 个顾客同时等待一项服务。顾客 i 需要的服务时间为$t_i$ ,1 ≤ i ≤ n 。 应该如何安排 n 个顾客的服务次序才能使总的等待时间达到最小？总的等待时间是各顾客等待服务的时间的总和。试给出你的做法的理由（证明）。

/*
 * 采用短作业优先算法
 * 第i位顾客需要服务时间为t_i 每位顾客的等待时间为在其前面被服务的所有顾客的服务时间和
 * 按照服务时间从小到大给所有顾客编号
 * 则第一位顾客等待时间为0
 * 第二位顾客等待时间为T1 = t1
 * 第三位顾客等待时间为T2 = t1+t2
 * 设所有顾客的等待时间为W
 * W = T1+T2+T3+T4+…+Tn= 0+t1+t1+t2+t1+t2+t3+…+t1+t2+t3+…+tn-1
 * =(n-1)*t1+(n-2)*t2+(n-3)*t3+…+tn-1
 * 要使W最小，需要使得t1最小，其次t2以此类推
 * 因此，按照服务时间递增的次序为顾客提供服务，即采用SJF算法，按服务时间排序
 * 可以最小化总等待时间。
 * */

public class guKeDengDai {
    /*
     * 接收一个顾客等待时间数组m
     * 升序排列后计算等待时间
     * 返回总等待时间
     * */
    public int guKeDengDai(int[] m) {
        int W = 0;//W表示所有顾客的等待时间
        if (m.length < 1) return W;//没有顾客，返回0
        Integer[] M = Arrays.stream(m).boxed().toArray(Integer[]::new); //将int数组转换成Integer数组
        Arrays.sort(M);//升序排列
        for (int i = 0; i < M.length; i++) {//等待时间计算
            W += M[i] * (m.length - i - 1);
        }
        return W;
    }

• 正确性：交换论证。不妨假设$t_1\le t_2\le t_2\le \dots \le t_n$,算法的调度 f 结果为1,2,…,n。设它不是最优的，存在最优调度f*，设其最早第k项作业$i_k$与 f 不同,即$f\ast :i_1,i_2,..i_{k-1},i_k,i_{k+1}\dots i_n$，必有$t_{ik}>=t_k$。 将f*中作业K与作业$i_k$置换，得到调度$f\ast \ast ：1,2\dots k,i_{k+1},\dots i_n$。其中$i_k$位置为j，则j>k, t_{ik{>=t_{k}。则：
  $T(f\ast )-T(f\ast \ast )=(n-k)t_{ik}+(n-j)t_k-(n-k)t_k-(n-j)t_{ik}=(j-k)t_{ik}+(k-j)t_k=(j-k)(t_{ik}-t_k)>=0$
  说明f**也是最优调度，但它与f不同的次序项后移了一位。重复此过程最多n步，可得f最优。

磁带存储

设$p_1,p_2,p_n$ 是准备存放到长为 L 的磁带上的 n 个程序，程序 $p_i$ 需要的带长为$a_i$。设${\sum }_{i=1}^n{a}_i>L$，要求选取一个能放在带上的程序的最大子集和（即其中含有最多个数的程序）Q。构造Q的一种贪心策略是按$a_i$的非降序将程序计入集合。

1. 证明这一策略的总能找到最大子集Q，使得${\sum }_{p_i=1}{a}_i>L$。
2. 设Q是使用上述贪心算法得到的子集和，磁带的利用率可以小到何种程度？
3. 说明问题1中提到的设计策略不一定能使${\sum }_{p_i=1}{a}_i/L$取的最大值的子集和。

(1)反正法。设算法得到的程序集合为Q不是最优的，Q是一个最优集合，则Q与Q无包含关系。Q不能包含Q* 是显然的，如果Q包含Q ，那么对p$\in$Q\Q，如果p不小于Q的成员，算法将会在接下来的判断中将其选入(不超L)，否则，它先被检查，早应该是Q的成员。
取Q使得|Q∩Q|最大。令p是Q\Q中最小的，则Q中比p更小的程序一定在Q中(阴影部分)。则任给p*$\in$Q*\Q，必有p*>=P。否则，若p*在P前被算法检查，此时磁带装入的程序均在Q∩Q即Q* 中，P不被选入，说明此时磁带已装不下p ，但P在Q里，说明P在Q∩Q之外可以装入，矛盾。
将Q中的P换成P，显然可以装入，得到Q**，也是最优的，但|Q**∩Q|>|Q∩Q|，与Q的选取矛盾。得证。
(2)磁带利用率为该是集合Q中所有程序的长度之和/L，可以为0，如果一个也装入不了。
(3)反例，l=8,n=4,a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,算法装入p1,p2,p3,带长浪费2，而装入p1,p3,p4，带长浪费0。

2. 动态规划(证明最优子结构)

提供的Java代码可能与答案所给不同，谨慎食用

最大子段和（22考）

最大字段和问题：给定整数序列$a_1,a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_n$，设计动态规划算法求该序列形如${\sum }_{k=1}^j{a}_k$的子段和的最大值：max{0，$\max {\sum }_{k=1}^j{a}_k,i<=i<=j<=n$}

证明最优子结构：
设{$x_{i1},x_{i2},\dots ,x_{ij}$}是以$x_{ij}$为最后元素的问题的最优解，
证明{$x_{i1},x_{i2},\dots ,x_{ij-1}$}是子问题以输入为A={$x_1,x_2,\dots ,x_{ij-1}$}的问题的最优解，
假设存在不等于{$x_1,x_2,\dots ,x_{ij-1}$}的{$x{\prime }_{i1},x{\prime }_{i2},\dots ,x{\prime }_{ij-1}$}是子问题的最优解，
则max{$0,ma{x}_{1\le i\le j\le n}{\sum }_{k=i}^{j-1}x{\prime }_{ik}$} > max{$0,ma{x}_{1\le i\le j\le n}{\sum }_{k=i}^{j-1}{x}_{ik}$}，
则max{$0,ma{x}_{1\le i\le j\le n}{\sum }_{k=i}^{j-1}x{\prime }_{ik}+x_{ij}$} > max{$0,ma{x}_{1\le i\le j\le n}{\sum }_{k=i}^{j-1}{x}_k+x_{ij}$}
则存在{$x{\prime }_{i1},x{\prime }_{i2},\dots ,x{\prime }_{ij-1},x_{ij}$}是问题的可行解，
这与{$x_{i1},x_{i2},\dots ,x_{ij}$}是以$x_{ij}$为最后元素的问题的最优解矛盾。

设dp[i]表示以nums[i]结尾的子段的最大子段和，即dp[i]是原问题的最优解：
假设dp[i]表示以nums[i]结尾的子段的最大子段和，则对于以nums[i+1]结尾的最大子段和dp[i+1]有两种可能，
1.原来的最大子段和dp[i]+当前值nums[i]，此时dp[i+1]=dp[i]+nums[i+1]
2.仅由当前值构成，即dp[i+1]=nums[i+1]
dp[i+1]=max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]) dp[0]=nums[0]

时间复杂度：O(n)

//1、解法（1）为暴力搜索算法，其中用了两个嵌套for循环对数组a进行遍历，故时间复杂度为O(n^2)

    public int[] maxSum(int[] nums, int l, int r) {
        int mid = l + (r - l >> 1);
        if (l == r) return new int[]{nums[l], l, r};
        int[] Lmax = new int[3];//0->子段和;1->左;2->右
        int[] Rmax = new int[3];
        Lmax = maxSum(nums, l, mid);// 递归左侧
        Rmax = maxSum(nums, mid, r - 1);// 递归右侧
        int sum = 0;// 计算一下左右加起来子段
        for (int i = Lmax[1]; i <= Rmax[2] - Lmax[1]; i++) {
            sum += nums[i];
        }
        // 三种情况作比较，返回最大子段
        int max = Math.max(Lmax[0], Rmax[0]);
        if (max < sum) return new int[]{sum, Lmax[1], Rmax[2]};
        if (Lmax[0] > Rmax[0]) return Lmax;
        else return Rmax;
    }

    //（3）、动态规划
    //如果加上当前值后，依然是和最大子段，则dp理所当然更新，否则dp变为当前单个数值
    public int MaxSum(int[] nums) {
    	if(nums.length==0) return 0;
        int dp[] =new int[nums.length] ;//dp[i]表示以nums[i]结尾的子段的最大子段和
        int cur = nums[0];//记录当前的最大字段和
        dp[0]=nums[0];
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {//dp[i]=max(dp[i-1]+nums[i],nums[i])
            dp[i] = Math.max(dp[i-1] + nums[i], nums[i]);
            cur = Math.max(cur, dp[i]);
        }
        return cur;
    }

双机调度（21考）

用两台处理机 A 和 B 处理n个作业。设第i个作业交给机器 A 处理时所需要的时间是$a_i$，若由机器 B 来处理，则所需要的时间是 $b_i$。现在要求每个作业只能由一台机器处理，每台机器都不能同时处理两个作业。设计一个动态规划算法，使得这两台机器处理完这n个作业的时间最短(从任何-台机器开工到最后一台机器停工的总的时间)。
证明最优子结构：
设{$x_1,x_2,\dots ,x_j$}是以$x_j$为最后作业问题的最优解，原问题可表述为求
min{${\sum }_{0\le i\le j}^j(a_i{x}_i+b_i(1-x_i))$}
证明{$x_1,x_2,\dots ,x_{j-1}$}是子问题以输入为A={$x_1,x_2,\dots ,x_{j-1}$}的问题的最优解，
假设存在不等于{$x_1,x_2,\dots ,x_{j-1}$}的{$x{\prime }_1,x{\prime }_2,\dots ,x{\prime }_{j-1}$}是子问题的最优解，
则min{${\sum }_{0\le i\le j}^{j-1}(a_{i}x{\prime }_i+b_i(1-x{\prime }_i))$} < min{${\sum }_{0\le i\le j}^{j-1}(a_i{x}_i+b_i(1-x_i))$}，
则min{${\sum }_{0\le i\le j}^{j-1}(a_{i}x{\prime }_i+b_i(1-x{\prime }_i))+a_j{x}_j+b_j(1-x_j$} < min{${\sum }_{0\le i\le j}^{j-1}(a_i{x}_i+b_i(1-x_i))+a_j{x}_j+b_j(1-x_j$}，
则存在{$x{\prime }_1,x{\prime }_2,\dots ,x{\prime }_{j-1},x_j$}是问题的可行解，
这与{$x_1,x_2,\dots ,x_j$}是以$x_j$为最后元素的问题的最优解矛盾。

public int twoMachineScheduling(int[] a, int[] b) {
        int n = a.length;
        int suma = 0;//机器a最多需要suma的时间
        for (int i : a) suma += i;
        // 初始化动态规划数组
        int[][] F = new int[n + 1][];// F[i][j] 表示前i个作业，机器B最小工作时间为j时的总时间
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            F[i] = new int[suma]; // 机器a最多需要suma的时间
            for (int j = 0; j < F[i].length; j++) {
                F[i][j] = Integer.MAX_VALUE; // 初始化为一个较大的值
            }
        }
        F[0][0] = 0;// 初始条件
        for (int k = 1; k <= n; k++) {// 动态规划递推
            for (int x = 0; x < F[k].length; x++) {
                if (x >= b[k - 1]) {// 如果机器B可以在时间x处理第k个作业
                    F[k][x] = Math.min(F[k][x], F[k - 1][x - b[k - 1]]);
                }
                if (x >= a[k - 1]) {// 如果机器A可以在时间x处理第k个作业，那么机器B需要在时间x - a[k - 1]处理
                    F[k][x] = Math.min(F[k][x], F[k - 1][x - a[k - 1]] + b[k - 1]);
                }
            }
        }

        // 寻找最小时间
        int minTime = Integer.MAX_VALUE;
        for (int x = 0; x < F[n].length; x++) {
            minTime = Math.min(minTime, Math.max(x, F[n][x]));
        }
        return minTime;
    }

整数线性规划

设计动态规划算法，求：$max{\sum }_{i=1}^n{c}_i{x}_i，{\sum }_{i=1}^n{a}_i{x}_i\le b,x_i\in$ { 0,1,2} , $1\le i\le n$
证明最优子结构：
设$y_1,y_2,\cdot \cdot \cdot ，y_n$是原问题的一个最优解，则$y_1,y_2,\cdot \cdot \cdot ，y_{n-1}$是下面子问题的最优解：
$max{\sum }_{i=1}^{n-1}{c}_i{x}_i,S.T.{\sum }_{i=1}^{n-1}{a}_i{x}_i\le b-a_n{y}_n,x_i\in$ {1,2,3}, $1\le i\le n-1$
如不然，$y{\prime }_1,y{\prime }_2,\cdot \cdot \cdot ，y{\prime }_{n-1}$是子问题的最优解,
则${\sum }_{i=1}^{n-1}{c}_{i}y{\prime }_i>{\sum }_{i=1}^{n-1}{c}_i{y}_i$,
则${\sum }_{i=1}^{n-1}{a}_{i}y{\prime }_i+a_n{y}_n\le b$, $y{\prime }_1,y{\prime }_2,\cdot \cdot \cdot ，y{\prime }_{n-1}，y_n$将是原问题的可行解，
且${\sum }_{i=1}^{n-1}{c}_{i}y{\prime }_i+c_n{y}_n>{\sum }_{i=1}^n{c}_i{y}_i$与$y_1,y_2,\cdot \cdot \cdot ，y_n$是原问题最优解矛盾。
递推公式：设m[k][x]表示容量约束x，可装入1,2,…k件物品的最优解，则
m[k][x]=max{m[k-1][x],m[k-1][x-ak]+ck,m[k-1][x-2ak]+2ck} ,0≤x≤b
m[0][x]=0,if x>=0; m[0][x]=-∞,ifx<0; m[k][<0]= -∞,k=1,2,…n

/*    3、该题目属于多重背包问题，即每个物品最多可取2个x={0,1,2}
        c数组表示物品价值
        a数组表示物品重量
        b为背包容量
        方法一：将物品集合展开 有多少个物品就在物品集合里放多少次
        方法二：再遍历一次数量集合x*/
    /*
     * 接收4个变量
     * c数组表示物品价值
     * a数组表示物品重量
     * b为背包容量
     * x数组表示每个物品有多少个
     * 返回一个背包可容纳的最大价值int
     * dp[j]表示背包当前价值  dp[j]=max(dp[j], dp[j - k * a[i]] + k * c[i])
     *
     * 嵌套三个for循环，最内层为物品数量k，次内层背包容量b,最外层为物品种类a,故时间复杂度为O(a*b*k)
     * 本题目中k为2，故时间复杂度为O(a*b)
     */
    public int multiPackage(int[] a, int[] c, int[] x, int b) {
        int dp[] = new int[b + 1];
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {//遍历物品
            for (int j = b; j >= a[i]; j--) {//从后向前遍历背包容量
                //遍历物品数量，数量从1开始增加，直到数量用完或者背包装不下该物品
                for (int k = 1; k <= x[i] && j - k * a[i] >= 0; k++) {
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - k * a[i]] + k * c[i]);
                }
            }
        }
        return dp[b];
    }

可靠性设计：

一个系统由 n 级设备串联而成，为了增强可靠性，每级都可能并联了不止一台同样的设备。假设第 i 级设备$D_i$ , 用了$m_i$台，该级设备的可靠性是 $g_i(m_i)$，则这个系统的可靠性是$\prod g_i(m_i)$。一般来说 $\prod g_i(m_i)$都是递增函数，所以每级用的设备越多系统的可靠性越高。但是设备都是有成本的，假定设备$D_i$ , 的成本是 $c_i$，设计该系统允许的投资不超过c，那么，该如何设计该系统 (即各级采用多少设备)使得这个系统的可靠性最高。试设计一个动态规划算法求解可靠性设计问题。
证明最优子结构：
$问题可描述为：max{\prod }_{1\le i\le n}{g}_i(m_i),s.t.{\sum }_{i=1}^n{m}_i{c}_i\le C$
证明问题满足最优子结构性质:
$$\begin{gathered} 设m_1,m_2,\dots m_{n-1},m_n是原问题的最优解， \\ 则其可靠性为{\prod }_{1\le i\le n}{g}_i(m_i)=g_n(m_n){\prod }_{1\le i\le n-1}{g}_i(m_i), \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 证明m_1,m_2,\dots m_{n-1}是下面问题的最优解： \\ max{\prod }_{1\le i\le n-1}{g}_i(m_i),s.t.{\sum }_{i=1}^{n-1}{m}_i{c}_i\le C-m_n{c}_n \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 假设m{\prime }_1,m{\prime }_2,\dots m{\prime }_{n-1}是子问题最优解， \\ 则{\prod }_{1\le i\le n-1}{g}_i(m{\prime }_i)>{\prod }_{1\le i\le n-1}{g}_i(m_i), \\ 则{\prod }_{1\le i\le n-1}{g}_i(m{\prime }_i)+g_n(m_n)\le C，m{\prime }_1,m{\prime }_2,\dots m{\prime }_{n-1},m_n是原问题的可行解， \\ 而{\prod }_{1\le i\le n-1}{g}_i({m\prime }_i)+g_n(m_n)>{\prod }_{1\le i\le n}{g}_i(m_i),与m_1,m_2,\dots m_{n-1}，m_n是最优解矛盾,故假设不成立 \end{gathered}$$
设M[k][x]为成本x，前k级设备串联所得最优可靠性值，
则m[k][x]=max{m[k-1][x-mkck]×gk(mk)}，1≤mk≤x/ck
m[0][x]=1，x>=0; m[k][ck]=1。

/*
     * 接收4个变量
     * n数组表示物品重量
     * m数组表示物品数量
     * g数组表示物品价值
     * c为背包容量
     * 返回一个背包可容纳的最大价值int
     * dp[j]表示背包当前价值  dp[j]=max(dp[j], dp[j - k * n[i]] * g[k]);
     *
     * 嵌套三个for循环，最内层为物品数量m，次内层背包容量c,最外层为物品n,故时间复杂度为O(m*c*n)
     *
     */
    public int SystemReliability(int[] n, int[] g, int[] m, int c) {
        int dp[] = new int[c + 1];
        for (int i = 0; i < n.length; i++) {//遍历物品
            for (int j = c; j >= n[i]; j--) {//从后向前遍历背包容量
                //遍历物品数量，数量从1开始，直到数量用完或者背包装不下
                for (int k = 1; k <= m[i] && j - k * n[i] >= 0; k++) {
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - k * n[i]] * g[k]);
                }
            }
        }
        return dp[c];
    }

最长单调递增子序列：

设A={$x_1,x_2,\dots ,x_n$}是n个不等的整数构成的序列，A的一个单调递增子序列是序列{$x_{i1},x_{i2},\dots ,x_{ik}$}，$i1<i2<\dots <ik$，且$x_{i1}<x_{i2}<\dots <x_{ik}$，子序列含有k个整数。例如，A={1,5,3,8,10,6,4,9}，它的长度为4的递增子序列是：{1,5,8,10}，{1,5,8,9},……。设计一个算法，求A的一个最长的单调递增子序列，分析算法的时间复杂度。对输入实例A={2,8,4,-4,5,9,11}，给出算法的计算过程和最后的解。
证明最优子结构：
设{$x_{i1},x_{i2},\dots ,x_{ij}$}是以$x_{ij}$为最后元素的问题的最优解，
证明{$x_{i1},x_{i2},\dots ,x_{ij-1}$}是子问题以输入为A={$x_1,x_2,\dots ,x_{ij-1}$}的问题的最优解，
假设存在不等于{$x_1,x_2,\dots ,x_{ij-1}$}的{$x{\prime }_{i1},x{\prime }_{i2},\dots ,x{\prime }_{ij-1}$}是子问题的最优解，
则$x{\prime }_{i1}<x{\prime }_{i2}<\dots <x{\prime }_{ij-1}$,于是$x{\prime }_{ij-1}<x_{ij}$
则{$x{\prime }_{i1},x{\prime }_{i2},\dots ,x{\prime }_{ij-1},x_{ij}$}是问题的可行解，
这与{$x_{i1},x_{i2},\dots ,x_{ij}$}是以$x_{ij}$为最后元素的问题的最优解矛盾

算法复杂度：对每个i需要检索比i小的所有j，需O(n)时间，i取值n种，所以T(n)=O(n2)。

/*
     * dp[i]表示以nums[i]结尾的最长单调递增子序列长度
     * 对所有的dp[i]初始化为1
     * 两层for循环，时间复杂度为O(n^2)
     * */
    public int[] riseSbuSeq(int[] nums) {
        int dp[] = new int[nums.length];
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            dp[i] = 1;//每次先将以nums[i]结尾的最大增序列长度dp[i]初始化为1
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] < nums[i]) {//当前值需要与之前所有值比较，若大于则比较dp
                    // 大于dp则+1，否则与dp[i]相同
                    dp[i] = dp[j] + 1 > dp[i] ? dp[j] + 1 : dp[i];
                }
            }
        }
        int maxLength = dp[0];//记录最长子序列长度
        int index = 0;//记录最长子序列结尾元素下标

        for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
            if (maxLength < dp[i]) {
                maxLength = dp[i];
                index = i;
            }
        }

        int seq[] = new int[maxLength];    //创建数组用于保存最长增子序列
        seq[--maxLength] = nums[index];    //先找到最大值，也就是最大增子序列的最后一个
        for (int i = index; i >= 0; i--) {    //逆序寻找子结构，然后构成所求子序列
            //i从最大增子序列的最后一个元素的下标index开始，反向查找
            if (nums[i] < nums[index] && dp[i] == dp[index] - 1) {
                //满足前一项小于后一项，并且前一项的dp[]等于后一项的dp[]+1
                seq[--maxLength] = nums[i];
                index = i; //满足条件则赋值，并且将index向前移动。
            }
        }
        return seq;
    }

机器最大效益：

有n项作业集合J={1,2,3,…n}，每项作业i的加工时间为t(i)，t(1)≤t(2) ≤…≤t(n)，获得收益v(i)，任务的结束时间为。一个可行的调度是对J的子集A中任务的一个安排，对于i∈A，f(i)是开始时间，满足：f(i)+t(i) ≤ f(j) 或 f(j) + t(j) ≤ f(i), j ≠ i，i,j∈A; 机器从0时刻启动，只要有作业就不闲置，求具有最大效益的调度。给出算法和复杂度分析。
设$y_1,y_2,\cdot \cdot \cdot ，y_j$是原问题的一个最优解，
即$max{\sum }_{i=1}^j{v}_i,S.T.{\sum }_{i=1}^j{t}_i\le D,1\le i\le n-1$
则$a_1,a_2,\cdot \cdot \cdot ，a_{n-1}$是下面子问题的最优解：$max{\sum }_{i=1}^{j-1}{v}_i,S.T.{\sum }_{i=1}^{j-1}{t}_i\le D,$
假设存在$a{\prime }_1,a{\prime }_2,\cdot \cdot \cdot ，a{\prime }_{n-1}$是子问题的最优解,
则${\sum }_{i=1}^{j-1}v{\prime }_i>{\sum }_{i=1}^{j-1}{v}_i$,
则${\sum }_{i=1}^{j-1}{v}_i+v_n\le D$, $a{\prime }_1,a{\prime }_2,\cdot \cdot \cdot ，a{\prime }_{n-1}，a_n$将是原问题的可行解，
且${\sum }_{i=1}^{j-1}v{\prime }_i+v_n>{\sum }_{i=1}^j{v}_i$与$a_1,a_2,\cdot \cdot \cdot ，a_n$是原问题最优解矛盾。

/*
     * 背包问题
     * n项作业，加工时间数组t[]为物品重量，且为升序排列
     * 结束时间D为背包容量
     * 收益数组v为物品价值
     * 物品数量均为1
     * dp[i]表示i时刻所能获得的最大收益
     * dp[j] = max(dp[j],dp[j-t[i]]+v[i])
     *
     * 算法仅遍历一遍，故时间复杂度为O(n)
     * */

    public int maxProfit(int[] t, int[] v, int D) {
        int dp[] = new int[D];//初始化为0
        for (int i = 0; i < t.length; i++) {
            for (int j = D - 1; j - t[i] > 0; j--) {
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - t[i]] + v[i]);
            }
        }
        return dp[D - 1];
    }

凸多边形划分三角形：

设A是顶点为1,2,…n的凸多边形，可以用不在内部相交的n-3条对角线将A划分成三角形，如下图是5边形的所有划分方案。假设凸n边形的边及对角线的长度dij都是给定的正整数，1≤i

/*
     * 输入一个二维数组d[n][n],d[i][j]表示顶点i到顶点j的距离，d[i][i]=0,即到自身距离为0
     * 输出一个数表示最小权值和
     * dp[i][j]表示从顶点i到顶点j进行三角剖分所需的费用
     * 三层嵌套for循环，每层复杂度均为n，故时间复杂度为O(n^3)
     * */

    public int minWeight(int[][] d) {
        int[][] dp = new int[d.length][d[0].length];
        for (int i = d.length - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j < d[0].length; j++) {
                if (j - i == 1) {
                    dp[i][j] = 0;
                    continue;
                }
                dp[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
                for (int k = i + 1; k < j; k++) {
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + d[i][k] + d[k][j] + d[i][j]);
                }
            }
        }
        return dp[0][d[0].length - 1];
    }

3. 回溯/分支限界

分派问题: n人分派n个工作（22考）

给n个人分派n件工作，给第i人分派第j件工作的成本是C(i,j) ，试用分枝限界法求成本最小的工作分配方案。

class Node implements Comparable<Node> {
    int v;          //已消耗成本
    int lb;         //目标函数值
    int c;          //执行人
    int t;          //任务
    boolean[] visited; //标记已分配任务

    public Node(int v, int lb, int c, int t, boolean[] visited) {
        this.v = v;
        this.lb = lb;
        this.c = c;
        this.t = t;
        this.visited = visited.clone();
    }

    @Override
    public int compareTo(Node p) {
        return Integer.compare(p.lb, this.lb);
    }
}

public class TaskAssignment {
    static final int maxtask = 10;
    static final int INF = 1000;
    static int[][] task = new int[maxtask][maxtask]; //员工-任务表
    static int n; //任务数
    static int down; //下界
    static int up; //上界
    static PriorityQueue<Node> pp = new PriorityQueue<>();

    public static void get_down() {
        down = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int min = INF;
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (task[i][j] < min)
                    min = task[i][j];
            }
            down += min;
        }
    }

    public static void get_up() {
        up = 0;
        boolean[] visited = new boolean[n];
        int flag = -1;
        for (int i = 0; i < n; i++)
            visited[i] = false;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int min = INF;
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (!visited[j] && task[i][j] < min) {
                    min = task[i][j];
                    flag = j;
                }
            }
            up += min;
            visited[flag] = true;
        }
    }

    public static int get_lb(Node node) {
        node.lb = node.v;
        for (int i = node.c + 1; i < n; i++) {
            int min = INF;
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (task[i][j] < min)
                    min = task[i][j];
            }
            node.lb += min;
        }
        return node.lb;
    }

    public static void solve() {
        get_down();
        get_up();
        Node first = new Node(0, down, -1, -1, new boolean[n]); //初始化第一个节点
        pp.add(first);
        int ret = INF;
        while (!pp.isEmpty()) {
            Node tmp = pp.poll();
            if (tmp.c == n - 2) {
                int min = INF;
                for (int i = 0; i < n; i++) {
                    if (!tmp.visited[i] && task[n - 1][i] < min)
                        min = task[n - 1][i];
                }
                int ans = tmp.v + min;
                if (ans <= tmp.lb) { //总成本小于所有目标函数值则该值为最优解
                    ret = ans;
                    break;
                } else {
                    if (ans < up) //更新上界
                        up = ans;
                    if (ans < ret)
                        ret = ans;
                    continue;
                }
            }
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (!tmp.visited[j]) {
                    Node next = new Node(tmp.v + task[tmp.c + 1][j], 0, tmp.c + 1, j, tmp.visited);
                    next.visited[j] = true;
                    next.lb = get_lb(next);
                    if (next.lb <= up) {
                        pp.add(next);
                    }
                }
            }
        }
        System.out.println("最优解为：" + ret);
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.print("请输入任务数：");
        n = new java.util.Scanner(System.in).nextInt();
        System.out.println("请录入工作信息，行（员工），列（任务）：");
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                task[i][j] = new java.util.Scanner(System.in).nextInt();
            }
        }
        solve();
    }
}

最佳调度问题: n个作业k台机器（21考）

假设有n 个任务要由k 个可并行工作的机器来完成，完成任务需要的时间为ti 。试设计一个分枝限界算法，找出完成这n 个任务的最佳调度，使得完成全部任务的时间最短。请使用回溯法或者是分支限界法来设计算法解决这个问题，要求写出剪枝过程。

Latin

一个4阶Latin方是一个4X4的方格，在它的每个方格内填入1,2,3或4，并使得每个数字在每行、每列都恰好出现一次。用回溯法求出所有第一行为1,2,3,4的所有4阶Latin方。将每个解的第2行到第4行的数字从左到右写成一个序列。

public class Latin {
    List<List<Integer>> lists = new ArrayList<>();

    public List<List<Integer>> latin(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        for (int num : nums) {
            list.add(num);
        }
        backtracking(nums, n, list);
        return lists;
    }

    private void backtracking(int[] nums, int n, List<Integer> list) {
        if (list.size() == n * n) {
            lists.add(new ArrayList<>(list));
            return;
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (!check(i, list, n)) continue;
            list.add(i);
            backtracking(nums, n, list);
            list.remove(list.size() - 1);
        }
    }

    private boolean check(int i, List<Integer> list, int n) {
        int row = list.size();
        int line = list.size();
        while (row - n >= 0) {
            if (list.get(row - n) == i) return false;
            else row = row - n;
        }
        while (line % n != 0) {
            if (list.get(--line) == i) return false;
        }
        return true;
    }

    @Test
    public void TestLatin() {
        int[] nums = {1, 2, 3, 4};
        for (List<Integer> list : latin(nums)) {
            System.out.println(list);
        }
//        System.out.println();
    }

}

恰好覆盖问题：

设给定有限集A={a1,a2,…,an}和A的子集的集合W={S1,S2,…,Sm} 。求子集W的子集U, 使得U中的子集都不相交且它们的并集等于A。求满足条件的所有子集U。

    List<List<List<Integer>>> listList = new ArrayList<>();

    public void exactlyToCoverTheProblem(List<Integer> A, List<List<Integer>> W) {
        List<List<Integer>> lists = new ArrayList<>();
        Set<Integer> set = new HashSet<>();
        backtracking(A.size(), W, 0, lists, set);
        System.out.println(listList);

    }

    private void backtracking(int size, List<List<Integer>> w, int index, List<List<Integer>> lists, Set<Integer> set) {
        if (set.size() == size) {
            listList.add(new ArrayList<>(lists));
            return;
        }
        for (int i = index; i < w.size(); i++) {
            Set<Integer> add = new HashSet<>(w.get(i));
            int sum = add.size() + set.size();
            add.addAll(set);
            if (add.size() < sum) continue;
            lists.add(w.get(i));
            backtracking(size, w, i + 1, lists, add);
            lists.remove(lists.size() - 1);
        }
    }

TSP

假设对称旅行商问题的邻接矩阵如图 1 所示，试用优先队列式分枝限界算法给出最短环游。画出解空间树的搜索图，并说明搜索过程。

public class TravelingSalesmanProblem {
    public int travelingSalesmanProblem(int[][] graph) {
        int[][] consume = new int[graph.length][graph.length];
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        backtracking(graph, consume, list, 0, 0);
        int max = Integer.MIN_VALUE;
        int min = Integer.MAX_VALUE;
        for (int[] ints : consume) {
            for (int i : ints) {
                max = Math.max(max, i);
                min = Math.min(min, i);
            }
        }
        System.out.println(min);
        return max;
    }

    private void backtracking(int[][] graph, int[][] consume, List<Integer> list, int index, int sum) {
        if (list.size() == graph.length) {
//            System.out.println(list);
            consume[index-1][list.get(0)] = sum + graph[index-1][list.get(0)];
            sum = 0;
        }
        for (int i = 0; i < graph.length; i++) {
            if (list.contains(i))continue;
            list.add(i);
            sum += graph[list.get(0)][i];
            backtracking(graph, consume, list, i+1, sum);
            sum -= graph[list.get(0)][i];
            list.remove(list.size() - 1);
        }
    }
}

0/1 背包

试写出 0/1 背包问题的队列式分枝限界算法程序，并找一个物品个数是16 的例子检验程序的运行情况。

    class Node implements Comparable<Node> {
        int currWeight;// 当前重量
        double currValue;// 当前价值
        double currBound;// 放入当前物品可能得到的价值上限
        int level;// 当前层级,也即第几个物品的选择
        Node parent;// 父节点
        int Tag;//是否是父亲的左儿子

        public Node() {
        }

        public Node(int currWeight, double currValue, double currBound, int level, Node parent, int tag) {
            this.currWeight = currWeight;
            this.currValue = currValue;
            this.currBound = currBound;
            this.level = level;
            this.parent = parent;
            Tag = tag;
        }

        // 重写compareTo，使得小根堆的堆顶放入当前物品可能得到的价值上限最大
        public int compareTo(Node node) {
            if (this.currBound < node.currBound)
                return 1;
            else if (this.currBound == node.currBound)
                return 0;
            else
                return -1;
        }
    }

    private int bag(int[] weights, int[] values, int totalWeight) {
        List<int[]> list = preProcess(weights, values);//weights和values数组不一定按照单位价值最大排列，此数组对两个数组作预处理
        weights = Arrays.copyOf(list.get(0), weights.length);
        values = Arrays.copyOf(list.get(1), values.length);
        int n = weights.length;
        int[] bestWay = new int[n];
        int maxValue = 0;
        PriorityQueue<Node> pq = new PriorityQueue<Node>();
        //构造一个初始化节点，属于-1层
        Node initial = new Node();
        initial.level = -1;
        int sum = Arrays.stream(values).sum();
        initial.currBound = sum;
        pq.add(initial);

        while (!pq.isEmpty()) {
            Node fatherNode = pq.poll();
            // 当已经搜索到叶子节点时
            if (fatherNode.level == n - 1) {// 如果现在这个节点是叶子节点
                if (fatherNode.currValue > maxValue) {// 并且当前背包的最大价值大于已知的最大价值
                    maxValue = (int) fatherNode.currValue;// 更新最大价值
                    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {// 从后向前遍历
                        bestWay[i] = fatherNode.Tag;// 用数组记录该叶子包含的路径
                        fatherNode = fatherNode.parent;// 向上查找
                        return maxValue;
                    }
                }
            } else {
                // 判断是否要将左节点加入队列,下一个物品放入背包，会不会超载
                if (weights[fatherNode.level + 1] + fatherNode.currWeight <= totalWeight) {// 如果不超载
                    Node newNode = new Node(
                            weights[fatherNode.level + 1] + fatherNode.currWeight,
                            values[fatherNode.level + 1] + fatherNode.currValue,
                            getBound(fatherNode, weights, values, totalWeight),
                            fatherNode.level + 1,
                            fatherNode,
                            1
                    ); //创建一个新的左节点
                    if (newNode.currBound > maxValue)//如果新节点的上限大于已知的最大值，将其加入优先队列
                        pq.add(newNode);
                }
                //不论左节点是否超载，右节点总不会超载，因为右边相当于不取下一个物品，其能够取到的价值上界通过父亲节点的上界减去本层物品的价值。
                if ((fatherNode.currBound - values[fatherNode.level + 1]) > maxValue) {
                    Node newNodeRight = new Node(
                            fatherNode.currWeight,
                            fatherNode.currValue,
                            fatherNode.currBound - values[fatherNode.level + 1],
                            fatherNode.level + 1,
                            fatherNode,
                            0
                    ); //创建一个新的左节点
                    pq.add(newNodeRight);
                }

            }
        }
        return -1;
    }

    private List<int[]> preProcess(int[] weights, int[] values) {
        class Pair implements Comparable<Pair> {
            int w;
            int v;

            public Pair(int w, int v) {
                this.w = w;
                this.v = v;
            }

            public Pair() {
            }

            @Override
            public int compareTo(Pair o) {
                return this.v / this.w - o.v / o.w;
            }
        }

        int n = weights.length;
        Pair[] p = new Pair[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) p[i] = new Pair(weights[i], values[i]);
        Arrays.sort(p);

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            weights[i] = p[i].w;
            values[i] = p[i].v;
        }
        List<int[]> list = new ArrayList<>();
        list.add(weights);
        list.add(values);
        System.out.println(list);
        return list;


    }

    private double getBound(Node node, int[] weights, int[] values, int totalWeight) {
        double maxLeft = node.currValue + values[node.level + 1];
        int leftWeight = totalWeight - node.currWeight - weights[node.level + 1];
        int templevel = node.level + 1;
        int n = weights.length;
        //尽力依照单位重量价值次序装剩余的物品
        while (templevel <= n - 1 && leftWeight > weights[templevel]) {
            leftWeight -= weights[templevel];
            maxLeft += values[templevel];
            templevel++;
        }
        //不能装时，用下一个物品的单位重量价值折算到剩余空间。
        if (templevel <= n - 1) {
            maxLeft += values[templevel] / weights[templevel] * leftWeight;
        }
        return maxLeft;
    }