优化模型：MATLAB非线性规划

一、非线性规划

1.1 非线性规划的定义

非线性规划（Nonlinear Programming，NLP） 是一种数学规划方法，用于解决含有非线性目标函数和/或非线性约束条件的优化问题。它是线性规划的一种扩展形式，更加广泛适用于复杂实际问题。

非线性规划的目标是最小化（或最大化）一个非线性目标函数，同时满足一组非线性约束条件。这些非线性函数可以是任意形式的，例如多项式、指数函数、对数函数等。非线性规划的决策变量可以是连续的或离散的，具体取决于问题的性质。

与线性规划相比，非线性规划更具挑战性，因为非线性函数的存在使得问题的求解变得更加困难。非线性优化问题往往没有显式解，需要使用迭代算法逐步优化。常用的求解方法包括牛顿法、梯度下降法、拟牛顿法、遗传算法等。

1.2 非线性规划的数学模型

$$\min f\left(\mathbf{x}\right)$$
$$s.t.\{\begin{array}{c}\mathbf{A}\cdot \mathbf{x}⩽\mathbf{b}\\ Aeq\cdot \mathbf{x}=beq\\ c\left(\mathbf{x}\right)⩽0\\ ceq\left(\mathbf{x}\right)=0\\ lb⩽\mathbf{x}⩽ub\end{array}$$
式中：$f\left(\mathbf{x}\right)$为标量函数；$\mathbf{A}$,$\mathbf{b}$,Aeq,beq,lb,ub为相应维数的矩阵和向量；$c\left(\mathbf{x}\right)$,$ceq(x)$为非线性向量函数。

1.3 非线性规划的matlab求解

MATLAB中求解非线性规划的命令是

[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

其中，$x0$是$\mathbf{x}$的初始值；$nonlcon$是定义的非线性向量函数；$c\left(\mathbf{x}\right)$,$ceq(x)$;options是定义的优化参数。

二、案例分析

求下列非线性规划：
$$\min f\left(x\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+8$$
$$s.t.\{\begin{array}{c}{x}_1^2-x_2+x_3^2⩾0\\ x_1+x_2^2+x_3^3⩽20\\ -x_1-x_2^2=-2\\ x_2+2x_3^2=3\\ x_1,x_2,x_3⩾0\end{array}$$
MATLAB代码：
非线性目标函数：

function f=fun1(x)
    f=sum(x.^2)+8;
end

非线性约束条件：

function [g,h]=fun2(x)
    g=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2
        x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20];
    h=[-x(1)-x(2)^2+2
        x(2)+2*x(3)^2-3];
end

主程序代码：

[x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[],'fun2')

求解结果：