FFT能量归一化

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前言

将时域信号转换为频域信号时，涉及到幅度和能量的变化，目前大部分开源库在正变换和反变换时会忽略常数，因此当我们想将频域和时域信号归一化到统一尺度时（方便设置阈值），需要做归一化操作。

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一、能量（功率）归一化有什么用？

答：添加功率归一化因子，目的在于使得不同调制方式（或者说对于所有映射方式）都能够取得相同的平均功率。

实际上，归一化是为了方便系统性能的比较，所以就要分清比较的模块是什么。比如，信道编码的增益问题，无论有无信道编码，比特能量是一样的，所以比较要以 Eb/No 为基准，而不是以进入信道前的符号能量 Es/No 为基准。再比如，在比较空时码系统和单天线系统中，还是以进入时空码编码前信号能量为基准，那么发送时的总能量一致，即时空码系统中各天线发射功率总和应和单天线系统发射功率相同。一般而言，归一化都在发射端处理。

二、归一化方式

1、单个频点幅度

$$X_k=\sum _{n=0}^{N-1}{x}_n{e}^{-i2\pi kn/N}$$
$$x_n=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}{X}_k{e}^{i2\pi n/N}$$
根据傅里叶变换公式，使用 $1/N$ 进行归一化，对于实数来说，有效频点为 $N/2$，因此使用 $2/N$

2、整帧能量

$$\sum _{n=0}^{N-1}|x[n]{|}^2=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}|X[k]{|}^2$$
根据 DFT 变换的帕萨瓦尔定理，使用 $1/\sqrt{N}$

三、仿真测试

在进行 FFT、IFFT 时分别需除 sqrt(N)，乘 sqrt(N），这样做的目的是使能量归一化，即使得时域和频域数据的能量一样。

MATLAB 测试：

Data_inf = randi([0,1],100,1)+1i*randi([0,1],100,1);
ifftData = ifft(Data_inf)*sqrt(100);
fftData = fft(Data_inf)./sqrt(100);
powerData = sum(abs(Data_inf).^2);
powerifft = sum(abs(ifftData).^2);
powerfft = sum(abs(fftData).^2);
fprintf('powerData = %d\n', powerData);
fprintf('powerifft = %d\n', powerifft);
fprintf('powerfft = %d\n', powerfft);

仿真结果：

powerData = 93
powerifft = 9.300000e+01
powerfft = 9.300000e+01

可知，数据能量都是 93，验证分析正确。

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