2023.12.21力扣每日一题——美丽塔 II

题目来源

力扣每日一题；题序：2866

我的题解

方法一 暴力解法(本题超时，无法通过)

依次枚举每个maxHeights[i]为山顶的山状数组元素之和，最终求出最大的高度和。
使用两层循环，外层循环控制山顶，内层循环分别求出山顶左侧和右侧满足美丽塔的高度和。

时间复杂度：O($n^2$)
空间复杂度：O(1)

public long maximumSumOfHeights(List<Integer> maxHeights) {
        int n=maxHeights.size();
        long res=0;
        for(int i=0;i<n;i++){
            int curHeight=maxHeights.get(i);
            long cur=curHeight;
            int preMax=curHeight;
            for(int j=i-1;j>=0;j--){
                int t=maxHeights.get(j);
                if(t<=preMax){
                    cur+=t;
                    preMax=t;
                }else{
                    cur+=preMax;
                }
            }
            preMax=curHeight;
            for(int j=i+1;j<n;j++){
                int t=maxHeights.get(j);
                if(t<=preMax){
                    cur+=t;
                    preMax=t;
                }else{
                    cur+=preMax;
                }
            }
            res=Math.max(res,cur);
        }
        return res;
    }

方法二 前后缀和+单调栈

首先需要知道山状数组是会从山顶将数组分为两个部分，数组左侧构成非递减，数组右侧构成非递增。想要使得数组元素尽可能大，需要使得heights[i]取值为maxHeights[i]，此时假设区间[0,i]构成的非递减元素和最大值为prefix[i]，区间[i,n-1]构成的非递增数组元素和的最大值为suffix[i]，则这时的山状数组的元素之和为：prefix[i]+suffic[i]-maxHeights[i]。减去maxHeights[i]是因为maxHeights[i]在左侧和右侧都被计算进去了，也就是计算了两次，所以需要减去一次。接下来分别讨论左侧和右侧的前缀和以及后缀和的计算：

• 左侧的非递减（求前缀和）：将maxHeights依次入栈，对于i位置元素来说，不断从栈顶弹出元素，直到栈中元素是一个非递减情况（也就是栈顶元素小于maxHeights[i]）。假设栈顶元素为j位置元素，则对于i位置的最大前缀和：prefix[i]=prefix[j]+(i-j)*maxHeights[i]
• 右侧的非递增（求后缀和）：将maxHeights依次入栈，对于i位置元素来说，不断从栈顶弹出元素，直到栈中元素是一个非递减情况（也就是栈顶元素小于maxHeights[i]）。假设栈顶元素为j位置元素，则对于i位置的最大前缀和：suffix[i]=suffix[j]+(j-i)*maxHeights[i]

所以最终的山状数组的最大值为：max(prefix[i]+suffic[i]-maxHeights[i])

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

 public long maximumSumOfHeights(List<Integer> maxHeights) {
        int n = maxHeights.size();
        long res = 0;
        long[] prefix = new long[n];
        long[] suffix = new long[n];
        Deque<Integer> stack=new LinkedList<>();
        // 计算最大前缀和
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // 要将栈顶比maxHeights[i]大的元素出栈
            while (!stack.isEmpty() && maxHeights.get(i) < maxHeights.get(stack.peek())) {
                stack.pop();
            }
            // 栈为空，表示maxHeights[i]是当前的最小值，前缀和只能是全部都由maxHeights[i]组成的山状数组
            if (stack.isEmpty()) {
                prefix[i] = (long) (i + 1) * maxHeights.get(i);
            // 栈顶元素的位置是j， prefix[i]=prefix[j]+(i-j)*maxHeights[i]
            } else {
                prefix[i] = prefix[stack.peek()] + (long) (i - stack.peek()) * maxHeights.get(i);
            }
            //栈中存储的是位置
            stack.push(i);
        }
        // 计算最大后缀和
        stack.clear();
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            // 要将栈顶比maxHeights[i]大的元素出栈
            while (!stack.isEmpty() && maxHeights.get(i) < maxHeights.get(stack.peek())) {
                stack.pop();
            }
            // 栈为空，表示maxHeights[i]是当前的最小值，后缀和只能是全部都由maxHeights[i]组成的山状数组
            if (stack.isEmpty()) {
                suffix[i] = (long) (n - i) * maxHeights.get(i);
            // 栈顶元素的位置是j， prefix[i]=prefix[j]+(j-i)*maxHeights[i]
            } else {
                suffix[i] = suffix[stack.peek()] + (long) (stack.peek() - i) * maxHeights.get(i);
            }
            stack.push(i);
            //i位置的前缀和以及后缀和都已经求出来，可以进行求最终i位置山状数组的最大和了
            res = Math.max(res, prefix[i] + suffix[i] - maxHeights.get(i));
        }
        return res;
    }

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