高中奥数 2021-12-06

2021-12-06-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 向量的内积 P039 习题5）

若,,且满足.

(1)用、表示;

(2)用表示;

(3)求的最小值及此时与所成的角的大小.

分析与解

(1).

(2),即,所以

(3),当且仅当时等号成立,此时.

2021-12-06-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 向量的内积 P039 习题6）

已知,,与的夹角为,求使与的夹角为锐角时,的取值范围.

分析与解

由题意得,则

又,于是
解得或.

2021-12-06-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 向量的内积 P039 习题7）

已知点、、.

(1)求以、为边的平行四边形的面积;

(2)若,且分别与、垂直,求向量的坐标.

分析与解

(1),,

.

(2)设.

,,得

得或

2021-12-06-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 向量的内积 P039 习题8）

在平面上给定,吃饭于平面上的一点,建立如下的变换:的中点为,的中点为,的中点为,.求证:只有一个不动点(指与重合的点).

证明

,,

.

要使与重合,应有,得,对于给定的满足条件的不动点只有一个,证毕.

2021-12-06-05

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 复数与向量 张思汇 向量的内积 P039 习题9）

如图,设是的外心,是的中点,是的重心,求证:如果,那么.

图1

证明

,

.

因为,所以,从而

,证毕.