关于0 1背包问题的详细解读-（不断更新中）

1.前言

第368场leetcode周赛第二题使用到了0 1背包问题的解法，由于当时对0 1背包问题理解不是很透彻，导致这题丢分。在b站上看了启蒙课程再加上自己理解，于是有了这篇博客，一是方便自己复习总结，二是为算法小白提供帮助。

2.状态方程及其推导的说明

0 1背包的状态方程是：$dp[i][j]=MAX\{dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]\}$。关于这个方程的推导，由于作者水平有限，本文直接使用该方程，将来如果理解了推导过程会更新本文，感兴趣的朋友可以去看相关的文章

2.1 状态方程解读

$dp[i][j]$: 当背包容量为j时，物品0-i任取放满背包获得的最大价值。这里的任取指的是：所有物品至多取一次，可能都取，可能都不取，也可能取一部分。对于某个物品，取还是不取，需要使用方程来进行决策。
$dp[i-1][j]$: 背包容量为j的情况下，当从物品0遍历到物品i时，决定不将物品i其放入背包获得的最大价值，这等价于将物品0~i-1任取放入背包获得的最大价值。
$dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]$: 背包容量为j的情况下，当从物品0遍历到物品i时，决定将物品i其放入背包（假设放得下）获得的最大价值。这等价于将物品0~i-1任取使得容量占用为$j-weigt[i]$时对应的最大价值dp[i-1][j-weight[i]]，再加上把剩余容量weigt[i]给物品i放入（物品i的价值为value[i]）获得的价值value[i]（这个值是确定的），即$dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]$。

2.2状态方程初始化

物品是数组value[]的下标i表示的，当i=0时，i-1<0,方程$dp[i][j]=MAX\{dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]\}$会报数组越界异常，因此必须对i=0的情况单独处理，对于$dp[0][j]$，只要$j>=weight[0]$，那么$dp[0][j]=value[0]$;