求Sn=m+mm+mmm+...+mm..mmm（有n个m）的值

题目：求 的值 

一、做这个题我们其实可以直接一个for求解：

m,mm,mmm...我们很容易知道它们后一项与前一项的关系就是；

    public static void Sum(int m,int n)
        {
            long sum = 0L;
            long curAn = 0;
            for (int i = 0; i < n; i++)
            {
                curAn = m+ 10* curAn;// An=m+10*A(n-1)
                sum+= curAn;// 求和
            }
            Console.WriteLine(sum);
        }

二、其实也可以用高中学的数列来做

现已知，下面我们具体来求解：

第一步转换：

；

第二步去括号求解K：

9K=m

解得K= 

第三步，将K= 带入   式子就可变成：

  

第四步，求解：

 

不难发现数列{ } 以 为首项，q=10为公比的等比数列；

那么 从而得到：

   得解！

接下来我们利用数学归纳法求解 ：

①式子：

 

 

②式子：

            

我们知道q=10，于是得到③式子：

                

                

③-①：

 ；

所以：

       

用代码表示：

    public static void Sum2(int m, int n)
        {
            double result = 10 / (double)81 * (Math.Pow(10, n) - 1) * m - n / (double)9;
            long sum = (long)result;
            Console.WriteLine(sum);
        }

2023.12.13 补充：

sum2方法调整，原因：减少数字n小时的溢出以及精度误差。

       public static void Sum2(int m, int n)
        {
            double result = (Math.Pow(10, n) - 1) / 9 * 10 - n;
            result = result / 9 * m;
            long sum = (long)result;
            Console.WriteLine(sum);
        }

优化：利用 System.Numerics 库的 BigInteger计算

     public static void Sum3(int m, int n)
        {
            BigInteger numerator = BigInteger.Multiply( BigInteger.Divide( BigInteger.Pow(10, n) - 1,9),10)-n;
            numerator= numerator / 9 * m;

            Console.WriteLine(numerator);
        }

当然 利用 System.Numerics 库的 BigInteger计算也可以把Sum方法也修改一下，可以计算更大的n与m，如下：

     public static void Sum(int m, int n)
        {
            BigInteger sum = 0L;
            BigInteger curAn = 0;
            for (int i = 0; i < n; i++)
            {
                curAn = m + 10 * curAn;// An=m+10*A(n-1)
                sum += curAn;// 求和
            }
            Console.WriteLine(sum);
        }

 2023.12.13补充结束

总结：方法二要求数据功底较深，用到高中数学归纳法求解求和公式；方法一只需要每次迭代当前 ，再求和。