LeetCode——动态规划

动态规划

一、一维数组:斐波那契数列

  1. 爬楼梯70简单

    dp定义: dp[i]表示爬到第i阶有多少种不同的方式

    状态转移方程: dp[i] = dp[i-1] + dp[i-1] (每次可以爬1或2个台阶)

    边界条件: dp[0] = 1; dp[1] = 1;(满足dp[2] = 2)

    返回值: dp[n],即通过累积,dp[n]为爬到第n阶台阶的方式

    改进: 因为dp只使用了前两个值,所以使用两个变量存储两个值,不断迭代更新。——试过之后与原dp数组相比改进不大,可能是因为题中n的值比较小,如果n的值较大的话,会节省空间开销。

  2. 打家劫舍198中等

    dp定义: dp[i]表示打劫到第i间房屋能偷窃到的最高金额

    状态转移方程: dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + 第i间房屋的金额)

    边界条件: dp[0] = 0; dp[1] = nums[0]; (后续 要计算dp[i-2])

    返回值: dp[n],即打劫到第n间房屋能偷窃到的最高金额

    改进: 同样可以缩小空间开销,在数组够长的时候可以进行节省。

  3. 打家劫舍Ⅱ213中等

    该题在上一题的基础上加了一个限制条件,房屋是环形,也就是在偷了第一间房的情况下不能偷最后一间;偷了最后一间的情况下不能偷第一间!! 所以分为两种情况,从第1间到第n-1间,从第2间到第n间。

    dp定义: dp[i]表示打劫到第i间房屋能偷窃到的最高金额

    状态转移方程: dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + 第i间房屋的金额)

    边界条件: 只有一间房屋,返回该房屋的金额;只有两间房屋,返回两间房屋中金额最大的;超过两间,根据特殊情况分别计算抢劫第1间房屋和最后一间房屋两种情况下能获取到的最高金额,将其返回。

    返回值: 盗窃金额最高的情况

    改进: 节省空间开销

总结:以上情况均使用了一维dp数组,且状态转移方程与数组的前几个数有关,可以使用变量存储,节省空间开销。关键对dp[i]的定义明确,状态转移方程确定好,在这种情况下再对边界情况进行特殊考虑。

二、二维数组:矩阵路径

  1. 矩阵的最小路径和64中等

    dp定义: dp[i][j]表示移动到[i][j]位置的时候路径上的数字和最小

    状态转移方程: dp[i][j] = min(dp[i-1][j] + [i][j]位置的数字, dp[i][j-1] + [i][j]位置的数字)

    边界条件: 第一行+[i][j-1], 第一列+[i-1][j]

    返回值: dp[m][n]

    题目:给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ,请找出一条从左上角到右下角的路径,使得路径上的数字总和为最小。
    
    说明:每次只能向下或者向右移动一步。
    输入:grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
    输出:7
    解释:因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
    示例 2:
    
    输入:grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
    输出:12
    
    
    class Solution {
    public:
        int minPathSum(vector>& grid) {
            int raw = grid.size();
            int col = grid[0].size();
            vector> dp(raw, vector(col, 0));
            dp[0][0] = grid[0][0];
            for (int j = 1; j < col; j++) {
                dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j];
            }
            for (int i = 1; i < raw; i++) {
                dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0];
            }
            // 遍历
            for (int i = 1; i < raw; i++) {
                for (int j = 1; j < col; j++) {
                    dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j];
                }
            }
            return dp[raw-1][col-1];
        }
    };
    

    改进: 空间优化,相当于对矩阵进行了压缩

    class Solution {
    public:
        int minPathSum(vector>& grid) {
            int raw = grid.size();
            int col = grid[0].size();
            vector dp(col);
            // 初始化
            dp[0] = grid[0][0];
            for (int i = 1; i < col; i++) {
                dp[i] = dp[i-1] + grid[0][i];
            }
            for (int i = 1; i < raw; i++) {
                dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
                for (int j = 1; j < col; j++) {
                    dp[j] = min(dp[j-1] + grid[i][j], dp[j] + grid[i][j]);
                }
            }
            return dp[col-1];
        }
    };
    
  2. 不同路径62中等

    dp定义: dp[i][j]表示到[i][j]位置的路径总数

    状态转移方程: dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

    边界条件: dp[0][j] = 1; dp[i][0] = 1

    返回值: dp[m-1][n-1]

    改进: 和上一题一样的思路

三、数组区间

  1. 数组区间和303简单

    dp定义: dp[i]表示从0-i的元素和

    状态转移方程: dp[i] = dp[i-1] + nums[i]

    边界条件: dp[0] = 0

    返回值: dp[right] - dp[left] + nums[left]

    改进: 这种情况下dp[right] - dp[left]之后包右不包左

  2. 数组中等差递增子区间的个数

    dp定义: dp[i]是i位置等差数列的个数,需要一个变量count记录到i位置之前等差数列的个数

    状态转移方程: 如果公差还为d,dp[i] = dp[i-1] + 1; 如果方差变化,d = nums[i] - nums[i-1]

    边界条件: d = nums[i] - nums[i-1], dp[0] = 0

    返回值: count

    改进: nums[i] - nums[i-1] = nums[i-1] - nums[i-2] 隐含了判断等差数列的长度大于等于3

    改进代码:

    class Solution {
    public:
        int numberOfArithmeticSlices(vector& nums) {
            int n = nums.size();
            // 长度必须大于3,所以如果数列长度小于3,返回0
            if (n < 3) {
                return 0;
            }
            vector dp(n);
            dp[0] = 0;
            dp[1] = 0;
            // 等差数列个数
            int count = 0;
            for (int i = 2; i < n; i++) {
                if (nums[i] - nums[i-1] == nums[i-1] - nums[i-2]) {
                    dp[i] = dp[i-1] + 1;
                    count += dp[i];
                }
            }
            return count;
        }
    };
    

四、分割整数

  1. 分割整数的最大乘积343

    dp定义: dp[i] 表示第i个数拆分后可以得到的最大乘积,会成为后面数的因数。

    状态转移方程: i表示当前要计算最大乘积的数,j表示i的某个因数

    for (int i = 2; i <= n; i++) {
    	int curMax = 0;
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            curMax = max(curMax, max(j* (i-j), j * dp[i-j]));
        }
    	dp[i] = curMax;
    }
    

    边界条件: 拆分的正整数的个数大于2,所以dp[0] = 0; dp[1] = 1

    返回值: dp[n]

    改进:

  2. 按平方数来分割整数279中等

    dp定义: dp[i]表示i的完全平方数的最小数量

    状态转移方程:

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
    	int minValue = INT_MAX;
        for (int j = 1; j * j <= i; j++) {
            minValue = min(minValue, dp[i-j*j]);
        }
        dp[i] = minValue + 1;
    }
    

    边界条件: dp[0] = 0

    返回值: dp[n]

    改进:

  3. 分割整数构成字母字符串91中等

    dp定义: dp[i]表示0-i位置有的编码方式

    状态转移方程: 因为26个字母编码有两位数,而且前缀0是不能包含在两位数的,所以分为两种情况:

    第一种是只把加第i个数当成编码:

    if (s[i-1] != '0') {
    
    	dp[i] += dp[i-1];
    
    }
    

    第二种加上前一个数看是否构成新的编码:

    if (s[i-2] != 0 && ((s[i-2] - '0') * 10 + (s[i-1] - '0')) < 26) {
        dp[i] += dp[i-2];
    }
    

    边界条件: dp[0] = 1;

    返回值: dp[n]

    改进:

五、最长递增子序列

  1. 最长递增子序列300中等

    dp定义: dp[i]表示从0-i可以构成递增子序列的最大长度

    状态转移方程: 因为可以删除数组中的某些元素,所以递增子序列要从之前的所有数检查。

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        dp[i] = 1;
        for (int j = i - 1; j>= 0; j--) {
            if (nums[j] < nums[i]) {
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
    }
    

    边界条件: dp[i] = 1,每个元素都是一个递增子序列

    返回值: dp数组中的最大值。

    改进: 贪心+二分查找

    贪心:因为我们想要上升子序列尽可能长,所以就要序列上升得尽可能慢,每次在上升子序列最后加上的数尽可能小

    dp定义:dp[i]表示长度为i的最长上升子序列的末尾元素的最小值,用len记录目前最长上升子序列的长度,起始为1

    状态转移方程:

    if (nums[i] > d[len]) {
        d[++len] = nums[i];
    } else {
        // 二分查找
        int l = 1, r = len, pos = 0;
        while (l <= r) {
            int mid = (l + r) >> 1;
            if (d[mid] < nums[i]) {
                pos = mid;
                l = mid + 1;
            } else {
                r = mid - 1;
            }
        }
        d[pos + 1] = nusm[i];-0
    } 
    

    边界条件:dp[1] = nums[0];

    返回值:len

  2. 一组整数对能够构成的最长链646中等

    dp定义: dp[i]表示以pairs[i]为结尾的最长数对链的长度

    状态转移方程: 先将数对链的第一个元素进行排序,以第i位为定点,遍历之前一共可以组成多少个数对链

    sort(pairs.begin(), pairs.end());
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (pairs[i][0] > pairs[j][1]) {
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
    }
    

    边界条件:

    返回值: dp[n-1]

    改进: 按元组的第二个数的大小进行排序

  3. 最长摆动子序列376中等

    dp定义: 两个dp分别定义上升序列up和下降序列down

    状态转移方程:

    如果差是正,up序列更新,如果差是负,down序列更新,如果差为0都不更新。

    up[0] = down[0] = 1;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (nums[i] > nums[i-1]) {
            up[i] = max(up[i-1], down[i-1] + 1);
            down[i] = down[i-1];
        } else if (nums[i] < nums[i-1]) {
            down[i] = max(down[i-1], up[i-1] + 1);
            up[i] = up[i-1];
        } else {
            up[i] = up[i-1];
            down[i] = down[i-1];
        }
    }
    

    边界条件: up[0] = down[0] = 1;

    返回值: max(down[i-1], up[i-1]);

    改进: 减少空间消耗,使用up和down两个变量进行存储

    int up = 1, dowm = 1
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (nums[i] - nums[i-1] > 0) {
            down += 1;
        } else if (nums[i] - nums[i-1] < 0){
            up += 1;
        }
    }
    return max(up, down);
    

六、最长公共子序列

  1. 最长公共子序列1143中等

    dp定义: dp[i][j]表示word1的第i位和word2的第j位之前序列的最长公共子序列

    状态转移方程:

    如果word1[i] == word2[j], dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1

    如果word1[i] != word2[j], dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

    边界条件: dp[0][0] = 0

    返回值: dp[n][m]

    改进:

七、0-1背包

  1. 划分数组为和相等的两部分416中等

    dp定义: dp[i][j]表示到nums数组的第i个位置,和能否是j,true表示和可以是j,false表示不可以

    状态转移方程:

    如果j < 当前数nums[i],说明不能放入:dp[i][j] = dp[i-1][j]

    如果j > 当前数nums[i],有两种情况:dp[i][j] = dp[i-1][j] | dp[i-1][j-nums[i]]

    边界条件:

    和为0,哪个元素都不选:dp[i][0] = true

    dp[0][nums[0]] = true

    返回值: dp[n-1][target]

    改进: 空间优化

  2. 改变一组数的正负号使得它们的和为一给定数494中等 —— 回溯递归

    应该想法简单一点,不能把全过程都想清楚,把子问题想明白就行

    dp定义:

    状态转移方程:

    边界条件:

    返回值:

    改进:

  3. 01字符构成最多的字符串474中等——三维数组

    dp定义: dp[i][j][k]三维dp数组,第一维表示在前多少个字符串中找0和1,j表示0的个数,k表示1的个数。

    状态转移方程:

    for (int i = 1; i <= length; i++) {
        // 计算该字符串中0和1的个数
        for (int j = 0; j <= m; j++) {
            for (int k = 0; k <= n; k++) {
                dp[i][j][k] = dp[i-1][j][k];
                if (j >= zeros && k >= ones) {
                    dp[i][j][k] = max(dp[i][j][k], dp[i-1][j-zeros][k-ones] + 1);
                }
            }
        }
    }
    

    边界条件: dp[0][j][k] = 0

    返回值: dp[length][m][n]

    改进:

  4. 找零钱的最少硬币数322中等

    dp定义: dp[i]表示金额和为i的最小硬币的数量

    状态转移方程:

    for (int i = 1; i <= amount; i++) {
        for (int j = 0; j < coins.size(); j++) {
            if (coins[j] <= i) {
                dp[i] = min(dp[i], dp[i-coins[j]] + 1);
            }
        }
    }
    if (dp[amount] > amount) {
        return -1;
    }
    return dp[amount];
    

    边界条件: dp[0] = 0;dp[other] = amount + 1(表示没有构成amount金额的方案);

    返回值: 如果硬币不能构成所需金额,则返回-1;如果硬币可以构成所需金额,返回所需的最小硬币数。

    改进:

  5. 找零钱的硬币数组合518中等

    dp定义: dp[i]表示和为i的总方案数

    状态转移方程:

    for (int i = 1; i <= amount; i++) {
        for (int j = 0; j < coins.size(); j++) {
            if (i >= coins[j]) {
                dp[i] += dp[i-coins[j]] + 1;
            }
        }
    }
    return dp[amount];
    

    边界条件: dp[0] = 0

    返回值: dp[amount]

    改进:

  6. 字符串按单词列表分割139中等

    dp定义: dp[i]表示截止i位置前的字符串是否可以有wordDict中的单词构成

    将wordDict进行去重是因为可以减小重复计算

    状态转移方程:

    vector dp(s.size() + 1);
    for (int i = 1; i <= size(); i++) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (dp[j] && wordDictSet.find(s.substr(j, i - 1)) != wordDictSet.end()) {
                dp[i] = true;
                break;
            }
        }
    }
    

    边界条件: dp[0] = true

    返回值: dp[s.size()]

    改进:

  7. 组合总和377组合总和Ⅳ

    dp定义: dp[i] 表示和为i时的元素组合个数

    状态转移方程:

    for(int i = 1; i <= target; i++) {
        for (int j = 0; j < nums.size(); j++) {
            if (i >= nums[j] && dp[i - nums[j]] < INT_MAX - dp[i]) {
                dp[i] += dp[i - nums[j]];
            }
        }
    }
    

    边界条件: dp[0] = 1

    返回值: dp[target]

    改进:

八、股票交易

允许的交易次数

能否在同一天进行买卖

增加限制条件要增加维度

  1. 股票交易Ⅰ 121简单

    dp定义: 最简单的情况,只有一个限制是不能在同一天进行买卖,只进行一次交易,dp[i]表示第i天卖出能获得的最大利润

    状态转移方程:

    dp[i] = max(dp[i-1], prices[i] + minprices)

    边界条件:

    dp[0] = 0;

    返回值: dp[n]

    改进: 空间优化,两个变量buy和sell分别保存

    int buy = -prices[0];
    int sell = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        buy = max(buy, -prices[i]);
        sell = max(sell, buy + prices[i]);
    }
    
  2. 股票交易Ⅱ 122中等

    没有限制交易次数

    可以在同一天进行买卖

    dp定义: dp[i][j]表示第i天的买入(j=0)可以获得的最大利润和第i天卖出(j=1)可以获得的最大利润

    状态转移方程:

    dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] - prices[i]);

    dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i]);

    边界条件:

    dp[0][0] = -prices[0];

    dp[0][1] = 0;

    返回值: dp[n-1][1]

    改进: 空间优化

    int buy = -prices[0];
    int sell = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        // int temp_buy = max(buy, sell - prices[i]);
        // int temp_sell = max(sell, buy + prices[i]);
        // buy = temp_buy;
        // sell = temp_sell;
        // 第二种
        // int temp_buy = buy;
        // int temp_sell = sell;
        // buy = max(temp_buy, temp_sell - prices[i]);
        // sell = max(temp_sell, temp_buy + prices[i]);
        // 第三种
        buy = max(buy, sell - prices[i]);
        sell = max(sell, buy + prices[i]);
    }
    return sell;
    
  3. 股票交易Ⅲ123困难

    两次交易

    允许同一天买卖

    dp定义: dp[i][j]表示第i天的利润,j=0表示第一次买入;j=1表示第一次卖出;j=2表示第二次买入;j=3表示第二次卖出

    状态转移方程:

    dp[i][0] = max(dp[i-1][0], -prices[i]);

    dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i]);

    dp[i][2] = max(dp[i-1][2], dp[i-1][1] - prices[i]);

    dp[i][3] = max(dp[i-1][3], dp[i-1][2] + prices[i]);

    边界条件:

    dp[0][0] = -prices[0];

    dp[0][2] = -prices[0];

    返回值: dp[n-1][3]

    改进: 空间优化

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        // 第一种
        // int temp_buy1 = buy1;
        // int temp_sell1 = sell1;
        // int temp_buy2 = buy2;
        // int temp_sell2 = sell2;
        // buy1 = max(temp_buy1, -prices[i]);
        // sell1 = max(temp_sell1, temp_buy1 + prices[i]);
        // buy2 = max(temp_buy2, temp_sell1 - prices[i]);
        // sell2 = max(temp_sell2, temp_buy2 + prices[i]);
    
        // 第二种
        buy1 = max(buy1, -prices[i]);
        sell1 = max(sell1, buy1 + prices[i]);
        buy2 = max(buy2, sell1 - prices[i]);
        sell2 = max(sell2, buy2 + prices[i]);
    }
    
  4. 股票交易Ⅳ188困难

    K次交易

    允许同一天进行买卖

    dp定义: 定义dp数组,i表示第i天,k表示完成了k次交易,j有两个状态,1表示手中持有股票,0表示手中没有股票

    状态转移方程:

    // 状态转移
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int K = 1; K <= k; K++) {
            dp[i][K][0] = max(dp[i-1][K][0], dp[i-1][K-1][1] + prices[i]);
             dp[i][K][1] = max(dp[i-1][K][1], dp[i-1][K][0] - prices[i]);
        }
    }
    

    边界条件:

    // 初始化
    for (int i = 0; i <= k; i++) {
        dp[0][i][0] = 0;
    	dp[0][i][1] = -prices[0];
    }
    for (int i = 1; i < n; i++) {
    	dp[i][0][0] = 0;
    	dp[i][0][1] = max(dp[i-1][0][1], dp[i-1][0][0] - prices[i]);
    }
    

    返回值: dp[n-1][k][0]

    改进:

  5. 需要冷却期的股票交易309中等

    没有限制交易次数

    允许同一天进行买卖,但是卖掉之后要有一天冷冻期,在冷冻期内不能买入股票

    dp定义: dp[i][j], j的范围是0, 1, 2,分别表示i位置买入,卖出、冷冻的最大利润

    状态转移方程:

    dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][2] - prices[i])

    dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i])

    dp[i][2] = max(dp[i-1][2], dp[i-1][1])

    边界条件: dp[0][0] = -prices[0]; dp[0][1] = 0; dp[0][2] = 0;

    返回值: max(dp[n][0], max(dp[n][1], dp[n][2]));

    改进: 空间优化,因为只用到了i-1时候的利润,所以可以减小一个维度,用三个变量来存储上一次买入、卖出、冷冻的最大利润

    int n = prices.size();
    // 初始化
    int get = -prices[0];
    int out = 0;
    int no = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        // 第一种
        // int temp_get = get;
        // int temp_out = out;
        // int temp_no = no;
        // get = max(temp_get, temp_no - prices[0]);
        // out = max(temp_out, temp_get + prices[0]);
        // no = max(temp_no, temp_out);
        
        // 第二种,冷冻期只有上一天卖出之后的后一天为冷冻期
        int temp_out = out;
        get = max(get, no - prices[i]);
        out = get + prices[i];
        no = max(temp_out, no);
    }
    
  6. 需要交易费用的股票交易714中等

    dp定义: dp[i][j]表示到第i支股票时,j=0时表示买入的利润,j=1时表示卖出的利润

    状态转移方程:

    dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] - prices[i] - fee)

    dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i])

    边界条件: dp[0][0] = -prices[i] - fee

    返回值: dp[n][1]

    改进: 空间优化,因为只用到了前一天的买入、卖出的值,所以只需要两个变量进行存储

    int get = -prices[0] - fee;
    int out = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        // 第一种
        // int temp_get = get;
        // int temp_out = out;
        // get = max(temp_get, temp_out - prices[i] - fee);
        // out = max(temp_out, temp_get + prices[i]);
        
        // 第二种
        get = max(get, out - prices[i] - fee);
        out = max(get + prices[i], out);
    }
    

九、字符串编辑

1. 删除两个字符串的字符使他们相等583

本质:二维DP

dp定义: dp[i][j]表示word1的i位置和word2的j位置最长公共子序列的长度,删除操作数为两个字符串的长度和减去两倍最长公共子序列的长度

状态转移方程:

if (word1[i-1] == word2[j-1]) {
    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
} else {
    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
}

边界条件: dp[0][j] = 0; dp[i][0] = 0;

返回值: (n + m) - 2 * dp[n][m]

改进:

2. 编辑距离72困难

dp定义: dp[i][j]表示word1的第i个位置与word2的第j个位置相同的话需要的最少操作数,行表示插入,列表示删除,对角线表示

状态转移方程:

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        if (word1[i-1] = word2[j-1]) {
            dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
        } else {
            dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1;
        }
    }
}

边界条件: dp[i][0] = i,表示删除;dp[0][j] = j,表示插入。

返回值: dp[n][m]

改进:

3. 复制粘贴字符650中等

dp定义: dp[i]表示能够打印i个’A’的最少操作次数

状态转移方程:

for (int i = 2; i <= n; i++) {
    dp[i] = INT_MAX;
    for (int j = 1; j * j <= i; j++) {
        if (i % j == 0) {
            dp[i] = min(dp[i], min(dp[i / j] + j, dp[j] + i / j));
        }
    }
}

边界条件: dp[1] = 0

返回值: dp[n]

改进:

主要是思想的一些记录~

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