LeetCode刷题--- N 皇后

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前言：这个专栏主要讲述递归递归、搜索与回溯算法，所以下面题目主要也是这些算法做的  

我讲述题目会把讲解部分分为3个部分：
1、题目解析

2、算法原理思路讲解

3、代码实现

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N 皇后

题目链接：N 皇后

题目

按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。

n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。

每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 'Q' 和 '.' 分别代表了皇后和空位。

示例 1：

输入：n = 4
输出：[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。

示例 2：

输入：n = 1
输出：[["Q"]]

提示：

• 1 <= n <= 9

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解法

算法原理思路讲解 

算法思路

1. ⾸先，我们在第⼀⾏放置第⼀个皇后，然后遍历棋盘的第⼆⾏，在可⾏的位置放置第⼆个皇后，然后再遍历第三⾏，在可⾏的位置放置第三个皇后，以此类推，直到放置了 n 个皇后为⽌。
2. 我们需要⽤⼀个数组来记录每⼀⾏放置的皇后的列数。在每⼀⾏中，我们尝试放置⼀个皇后，并检查是否会和前⾯已经放置的皇后冲突。如果没有冲突，我们就继续递归地放置下⼀⾏的皇后，直到所有的皇后都放置完毕，然后把这个⽅案记录下来。
3. 在检查皇后是否冲突时，我们可以⽤⼀个数组来记录每⼀列是否已经放置了皇后，并检查当前要放置的皇后是否会和已经放置的皇后冲突。对于对⻆线，我们可以⽤两个数组来记录从左上⻆到右下⻆的每⼀条对⻆线上是否已经放置了皇后，以及从右上⻆到左下⻆的每⼀条对⻆线上是否已经放置了皇后。

对于对⻆线是否冲突的判断可以通过以下流程解决

• 从左上到右下：相同对⻆线的⾏列之差加 n （防止⾏列之差为负数）相同；
• 从右上到左下：相同对⻆线的⾏列之和相同。

因此，我们需要创建⽤于存储解决⽅案的⼆维字符串数组 ret   ，⽤于存储每个皇后的位置的

⼀维整数数组 path   ，以及⽤于记录每⼀列和对⻆线上是否已经有皇后的布尔型数组。

（1）全局变量

    bool checkCol[10], checkDig1[20], checkDig2[20];
    vector> ret;
    vector path;
    int N;

• ret（存储解决⽅案的⼆维字符串数组  ）
• path（⽤于存储每个皇后的位置的⼀维整数数组）
• N（n 的大小）
• checkCol（记录每⼀列上是否已经有皇后的布尔型数组）
• checkDig1（记录对⻆线上的主线是否已经有皇后的布尔型数组）
• checkDig2（记录对⻆线上的副线是否已经有皇后的布尔型数组）

（2）设计递归函数

void dfs(int row);

• 参数：row（表示现在要处理的行数）；
• 返回值：无；
• 函数作用：在当前⾏放⼊⼀个不发⽣冲突的皇后，查找所有可⾏的⽅案使得放置 n 个皇后后不发⽣冲突。

递归函数流程如下

1. 递归结束条件：如果 row 等于 n ，则表⽰已经找到⼀组解决⽅案，此时将每个皇后的位置存储到字符串数组 ret 中，并将 path 存储到 ret 数组中，然后返回；
2. 枚举当前⾏的每⼀列，判断该列、两个对⻆线上是否已经有皇后：
   1. 如果有皇后，则继续枚举下⼀列；
   2. 否则，在该位置放置皇后，并将 checkCol[10], checkDig1[20], checkDig2[20];对应的位置，设为 true ，表⽰该列和对⻆线上已经有皇后：
3. 递归调⽤ dfs 函数，搜索下⼀⾏的皇后位置。如果该⽅案递归结束，则在回溯时需要将checkCol[10], checkDig1[20], checkDig2[20]; 对应的位置设为 false ，然后继续枚举下⼀列；

以上思路讲解完毕，大家可以自己做一下了

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代码实现

class Solution {
public:
    bool checkCol[10], checkDig1[20], checkDig2[20];
    vector> ret;
    vector path;
    int N;

    void dfs(int row)
    {
        if (row == N)
        {
            ret.push_back(path);
            return;
        }
        for (int col = 0; col < N; col++) // 尝试在这⼀⾏放皇后
        {
            // 剪枝
            if (!checkCol[col] && !checkDig1[row - col + N] && !checkDig2[row +col])
            {
                path[row][col] = 'Q';
                checkCol[col] = checkDig1[row - col + N] = checkDig2[row +col] = true;

                dfs(row + 1);

                path[row][col] = '.';                // 恢复现场
                checkCol[col] = checkDig1[row - col + N] = checkDig2[row +col] = false;
            }

        }
    }
    vector> solveNQueens(int n) 
    {
        N = n;
        path.resize(n);
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            path[i].append(n, '.');
        }

        dfs(0);
        return ret;
    }
};