【经验模态分解】5.结合EMD与最小二乘法的信号趋势项的提取方法

• 利用 EMD 将信号分解为一系列 固有模态函数IMF，根据 振动信号过零点特性 对属于趋势项的 IMF 分量进行判别，并对判别为趋势项的 IMF 分量进一步利用 最小二乘法 进行趋势项拟合，将拟合结果求和作为最终趋势项。
• 数值模拟试验和实测数据处理结果表明：这一方法无需假设趋势项类型，且可不受 EMD 过程中模态混叠和端点效应的影响，使趋势项提取更为准确。

---

1 趋势项

1-1 什么是趋势项？

• 趋势项是指信号中 周期大于采样长度 的频率成分，通常表现为线性的或者慢变的趋势误差。

1-2 为何要提取趋势项？

提取和消除信号中存在的趋势项是信号预处理的一个重要环节，趋势项会严重影响信号时域相关分析和频域功率谱估计精度，严重的趋势项干扰会使低频谱严重失真。

1-3 提取的方法

• 平均斜率法、差分法、低通滤波法和最小二乘拟合法等（缺点：这些方法通常需要预先明确信号中趋势项的类型。如线性趋势项、多项式或指数趋势项等。这些方法的自适应能力差，不适用于复杂变化的趋势项提取，很大程度上限制了其应用范围）。

2 利用EMD得到的趋势项

• IMF阶数增加，对应的频率成分逐渐降低，其中余量 $r_n(t)$ 的频率成分最低
• 根据 EMD 分解收敛条件：分解余量 $r_n(t)$ 为单调函数，周期大于信号的记录长度，因此可以将 $r_n(t)$ 作为趋势项。

3 最小二乘法拟合趋势项

• 最小二乘法提取趋势项 是一种针对 随机信号和稳态信号 极为有效的方法。不仅可以提取呈线性状态基线偏移的简单类型趋势项，也可以提取具有高阶多项式的复杂趋势项

3-1 最小二乘法拟合趋势项的步骤

①假设一趋势项多项式，根据最小二乘原理列出求解方程
②用矩阵法求出趋势项系数矩阵‚得出趋势项拟合曲线。

3-2 最小二乘法消除趋势项步骤（matlab）

1、最小二乘法拟合直线作BaseLine
2、原始数据减去拟合的直线BaseLine

• 情况一：先知趋势项为线性的，消除线性趋势项

y = detrend(x)

• 情况二：先知趋势项为多项式，消除多项式趋势项（趋势为非线性曲线）

p = polyfit(t,signal,5);
xtrend = polyval(p,t);
y = signal-xtrend;

• 使用sgolay滤波器消除趋势项

y = sgolayfilt(x,order,framelen)

3-3 缺点

缺点：是对信号的拟合 需要事先预测趋势项类型 ，如线性函数、指数函数、幂函数等。 随着趋势项复杂程度的增加，拟合的难度也增大，对分析较复杂的实际信号不适用。

4 结合EMD的最小二乘方法

利用 EMD 和最小二乘拟合方法都可以实现趋势项的提取，但是两者都存在方法本身固有的缺陷

4-1 EMD提取法的优势与不足

• 【优势】：EMD方法 适用信号范围广泛，不受信号和趋势项类型约束。
• 【不足之处1】：利用 EMD方法 提取趋势项必须要求 原始信号本身满足可分解条件： $A_1{f}_1＜2A_2{f}_2$，否则会存在 模态混叠现象。
  模态混叠：不同频率成分共存于同一个 IMF 分量中，那么作为低频的 趋势项成分也可能会混叠在与之接近的低频 IMF 分量中，此时用分解余量 $r_n(t)$ 作为趋势项会使趋势项提取不完全。
• 【不足之处2】：EMD 另外一个缺陷是 端点效应 问题（低频分量这种现象尤为突出）
  端点效应 ：由于所分析信号长度有限，信号的两端点不能确定是极值，在进行三次样条插值时，必然使信号的上下包络在信号两端附近严重扭曲。

• 在信号的 高频分量 中由于时间尺度小，极值间的距离小，端部的边缘效应仅局限在信号两端很小的部分。
• 但对于 低频分量，时间尺度大，极值间的距离大，端部的边缘效应就传播到信号内部，特别是原始信号数据集比较短时，会严重影响 EMD 分解的质量，作为分解余量 $r_n(t)$ 同样受到端点效应的影响，这种情况下简单地把 $r_n(t)$ 作为趋势项处理同样会影响趋势项提取精度。）

4-2 最小二乘方法的缺陷上的细节

• 1、对 趋势项系数$b_k$ 的求解需要利用 原始信号$x(n)$ ，如果信号 $x(n)$ 受噪声影响，则 趋势项系数$b_k$ 的求解精度同样会受到影响。
• 2、利用最小二乘直接拟合趋势项需要设定合理的趋势项阶数，阶数的选择缺乏理论依据，需要趋势项的先验信息，工程上很难保证。

4-3 结合的步骤

• 1、将原始信号进行 EMD‚获得一系列 IMF 分量
• 2、根据 趋势项定义和振动信号过零点特性 判别 余量$r_n(t)$ 和与 $r_n(t)$ 临近的低频 IMF 分量是否属于趋势项
• 3、对判别属于趋势项的 余量$r_n(t)$ 和低频 IMF 分量进行 最小二乘趋势项拟合（克服 EMD 过程的模态混叠和端点效应对趋势项提取的不利影响）

4-4 结合后的优势

• 1、（随机噪声一般可认为其分布在高频范围），这种结合方法避免了随机噪声对最小二乘法拟合趋势项的影响（因为结合后的最小二乘法处理的是多次分解后得到的低频余量$r_n(t)$）。
• 2、针对低频 IMF 分量进行最小二乘趋势项拟合，设置的拟合多项式阶数可以设定相对小，降低了计算复杂度。

5 实际操作

参考文献：结合经验模态分解的振动信号趋势项提取方法_李振兴.pdf
参考知乎blog：趋势项消除-方法总结