第十一部分 树

目录

主要内容

例1

例2

避圈法（Kruskal）

例3

求最优树的算法—— Huffman算法

例4

例

例

存放规则

例

波兰符号法

逆波兰符号法

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主要内容

无向树及其性质

生成树

根树及其应用

定义11.1

(1) 无向树 —— 连通无回路的无向图

(2) 平凡树 —— 平凡图

(3) 森林 —— 至少由两个连通分支（每个都是树）组成

(4) 树叶 ——1 度顶点

(5) 分支点 —— 度数 ≥ 2 的顶点

定理 11.1 设 G =< V , E > 是 n 阶 m 条边的无向图，则下面各命题

是等价的：

(1) G 是树

(2) G 中任意两个顶点之间存在唯一的路径

(3) G 中无回路且 m = n − 1

(4) G 是连通的且 m = n − 1

(5) G 是连通的且 G 中任何边均为桥

(6) G 中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新 边，在所得图中得到惟一的一个含新边的圈

定理11.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T 中至少有两片树叶

例1

已知无向树T中有1个3度顶点，2个2度顶点，其余顶点全是树叶，试求树叶数

解

解本题用树的性质 m = n − 1以及 握手定理，握手定理及2m=总度数，m为边，n为结点，详细可以看第九部分图论的握手定理内容

设有 x 片树叶

于是 n = 1+2+ x = 3+x 总结点数

2 m = 2( n − 1) = 2 × (2+ x ) = 1 × 3+2 × 2+x 一个三度顶点，两个二度顶点，x片树叶，总度数

解出 x = 3

故 T 有 3 片树叶

例2

已知无向树T有5片树叶，2度与3度顶点各1个，其余顶点的度数均为4，求T的阶数n

解

设 T 的阶数为 n , 则边数为 n − 1 ， 4 度顶点的个数为 n − 7

由握手定理得

2 m = 2( n − 1) = 5 × 1+2 × 1+3 × 1+4( n − 7)

解出 n = 8

4 度顶点为 1 个

定义 11.2 设 G 为无向图

(1) G 的 树 —— T 是 G 的子图并且是树

(2) G 的 生成树 —— T 是 G 的生成子图并且是树

(3) 生成树 T 的 树枝 —— T 中的边

(4) 生成树 T 的 弦 —— 不在 T 中的边

(5) 生成树 T 的 余树 T —— 全体弦组成的集合的导出子图

定理11.3 无向图G具有生成树当且仅当G连通

推论1 G为n阶m条边的无向连通图，则m≥n−1

推论2 的边数为m−n+1

推论3 为G 的生成树 T 的余树， C 为 G 中任意一个圈，则 C  与 一定有公共边

定义 11.3  T 是 G =< V , E , W > 的生成树

(1) W ( T )—— T 各边权之和

(2) 最小生成树 —— G 的所有生成树中权最小的 

求最小生成树的一个算法 

避圈法（Kruskal）

设 G =< V , E , W > ，将 G 中非环边按权从小 到大排序： e 1 , e 2 , …, e m

(1) 取 e 1 在 T 中

(2) 查 e 2 ，若 e 2 与 e 1 不构成回路，取 e 2 也在 T 中，否则弃 e 2

(3) 再查 e 3 ,…, 直到得到生成树为止

例3

求图的一棵最小生成树

解

避圈法即遇到圈则将其中遇到的最大边给丢弃

所求最小生成树如 图所示

W ( T )=38

定义11.4 T是有向树（基图为无向树）

(1) T 为 根树 —— T 中一个顶点入度为 0 ，其余的入度均为 1

(2) 树根 —— 入度为 0 的顶点

(3) 树叶 —— 入度为 1 ，出度为 0 的顶点

(4) 内点 —— 入度为 1 ，出度不为 0 的顶点

(5) 分支点 —— 树根与内点的总称

(6) 顶点 v 的 层数 —— 从树根到 v 的通路长度

(7) 树高 —— T 中层数最大顶点的层数

(8) 平凡根树 —— 平凡图

根树的画法——树根放上方，省去所有有向边上的箭头

 

定义 11.5  T 为非平凡根树

(1) 祖先与后代

(2) 父亲与儿子

(3) 兄弟

定义 11.6  设 v 为根树 T 中任意一顶点，称 v 及其后代的导出子 图为以 v 为根的 根子树 

(1)T为有序根树——同层上顶点标定次序的根树

(2)分类

①r叉树——每个分支点至多有r个儿子

②r叉有序树——r树是有序的

③r叉正则树——每个分支点恰有r个儿子

④r叉正则有序树

⑤r叉完全正则树——树叶层数相同的r叉正则树

⑥r叉完全正则有序树

定义 11.7  设二 叉树 T 有 t 片树叶 v 1 , v 2 , …, v t ，权分别为 w 1 , w 2 , …, w t ，称 为 T 的权，其中 l ( v i ) 是 v i 的层数， 在所有有 t 片树叶，带权 w 1 , w 2 , …, w t 的二 叉树中，权最小的二 叉树称为 最优二 叉树

求最优树的算法—— Huffman算法

给定实数 w 1 , w 2 , …, w t ，且 w 1 ≤ w 2 ≤ … ≤ w t 

(1) 连接权为 w 1 , w 2 的两片树叶，得一个分支点，其权为 w 1 + w 2

(2) 在 w 1 + w 2 , w 3 , …, w t 中选出两个最小的权，连接它们对应的 顶点 ( 不一定是树叶 ) ，得新分支点及所带的权

(3) 重复 (2) ，直到形成 t − 1 个分支点， t 片树叶为止

例4

求带权为1, 1, 2, 3, 4, 5的最优树

解

W(T)=1×4+1×4+2×3+3×2+4×2+5×2=4+4+6+6+8+10=38

最下方的数×层数的和为总权

定义 11.8

设 α 1 , α 2 , …, α n -1 , α n 是长度为 n 的符号串

(1) 前缀 —— α 1 , α 1 α 2 , …, α 1 α 2 … α n − 1

(2) 前缀码 ——{ β 1 , β 2 , …, β m } 中任何两个元素互不为前缀

(3) 二元前缀码 —— β i ( i =1, 2, …, m ) 中只出现两个符号，如 0 与 1

定理 11.4  一棵 二 叉树产生一个二元前缀码

推论 一棵正则 二 叉树产生唯一的前缀码（按左子树标 0 ， 右子树标 1 ）

例

图所示二叉树产生的前缀码为

{ 00, 10, 11, 011, 0100, 0101 }

 

行遍或周游根树T——对T的每个顶点访问且仅访问一次

对二 叉有序正则树的周游方式：

① 中序行遍法 —— 次序为：左子树、根、右子树

② 前序行遍法 —— 次序为：根、左子树、右子树

③ 后序行遍法 —— 次序为：左子树、右子树、根

例

对图所示根树按中序、前序、 后序行遍法访问结果分别为：

 

中序b a f d g   c e

前序a b c d f g   e

后序b f g d   e c   a

存放规则

最高层次运算放在树根

后依次将运算符放在根 子树的根上

数放在树叶上

规定：被除数、被减数 放在左子树树叶上

例

波兰符号法

按前序行遍法访问存放算式的 2 叉有序正则树，其结果不加 括号，规定每个运算符号与其后面紧邻两个数进行运算，运 算结果正确 . 称此算法为波兰符号法或前缀符号法，   对上图的 访问结果为

                                        ÷ ∗ + b + c d a − ∗ e f ∗ + g h ∗ i j

逆波兰符号法

按后序行遍法访问，规定每个运算符与前面紧邻两数运算， 称为逆波兰符号法或后缀符号法 ， 对上图的访问结果为

                                        b c d + + a ∗ e f ∗ g h + i j ∗ ∗ − ÷