【专题】平衡二叉树（AVL）

一、基本概念

• 平衡二叉树：也叫AVL树，左、右子树深度之差绝对值不大于1的二叉树；
• 结点平衡因子BF：该结点的左子树深度-右子树深度。取值={-1,0,+1}；
• 引入平衡二叉树的目的：提高二叉排序树的查找效率，减少平均查找长度；

二、构造平衡二叉树

平衡二叉树的插入过程的前半部分与二叉排序树相同，但在新结点插入后，若造成查找路径上的某个结点不再平衡，则需要做出相应调整。

• 单向右旋平衡处理（LL）
  原因：在A 的左子树根结点的左子树上插入结点，A的平衡因子由1增至2，至使以A为根的子树失去平衡；
  调整：以结点B为旋转轴，将结点A向右旋转成为B的右子树，结点B代替原来A的位置，原来B的右子树成为A的左子树；
  
• 单向左旋平衡处理（RR）
  原因：在A 的右子树根结点的右子树上插入结点，A的平衡因子由-1增至-2，至使以A为根的子树失去平衡；
  调整：以结点B为旋转轴，将结点A向左旋转成为B的左子树，结点B代替原来A的位置，原来B的左子树成为A的右子树；
  
• 先左后右平衡处理（LRLR）
  原因：在A 的左子树根结点的右子树上插入结点，A的平衡因子由1增至2，至使以A为根的子树失去平衡。
  调整：先以C为旋转轴，将结点B向左旋转成为C的左子树，结点C代替原来B的位置，原来C的左子树成为B的右子树。
  再以C为旋转轴，将A向右旋转成为C的右子树，结点C代替原来A的位置，原来C的右子树成为B的左子树。
  
• 先右后左平衡处理：(RLRL)
  原因：在A 的右子树根结点的左子树上插入结点，A的平衡因子由-1增至-2，至使以A为根的子树失去平衡；
  调整：先以C为旋转轴，将结点B向右旋转成为C的右子树，结点C代替原来B的位置，原来C的右子树成为B的左子树。 再以C为旋转轴，将A向左旋转成为C的左子树，结点C代替原来A的位置，原来C的左子树成为B的右子树；
  

三、例题

1. 初始序列｛6,2,1,4,5,3,7｝。
   
2. 请按照数列{28，45，33，12，37，20，18，55}的先后插入，生成一棵平衡二叉排序树，并计算其平均查找长度。