整式乘除的探索

在这一章，我们探索了整式的乘除。构建了一个完整的框架结构。而在学整式乘除之前，我们首先要温故的就是上学期学习的整式的加减。那么我们这一章的探索历程是什么样子的呢？又是怎样一步一步来学习整式成熟的知识的呢？

首先温故，整式和分式的不同。我们可以把代数式这一大类分为整式和分式这两个小类，暂时我们还不探索分式。而整式又可以分为单项式和多项式，那么也就意味着我们本次要学的整式的乘除包含单项式乘单项式， 单项式乘多项式，和多项式乘多项式。然后就是整式的加减，整式的加减的法则是只有同类项才可以合并，非同类项不可以和并。同类项也就意味着这两个式子要字母相同，指数相同和项数相同。 

温故完了原来的内容，那么我们现在就要开始探索整式的乘除了。既然是整式的乘除 那么顾名思义可以分为整式的乘，和整式的除，我们首先要探索的是整式的乘法，而我在整式乘法中说到的这些方法，既可以运用在单项式乘单项式，又可以运用在单项式乘多项式，又可以运用在多项式乘多项式 。

整式的乘法可以分为好几个部分，第一个部分是同底数幂的相乘。比如:10的3次方×10的5次方。我们可以用算力来解释这件事情。也就是10×10×10（10的3次方）×10×10×10×10×10（10的5次方）一共是八个十相乘，也就是10的8次方，我们会发现十的八次方就是十的3次方和十的5次方的指数相加。但是这仅仅是一个个例，我们如果想证明它是一种普遍规律，那么就需要用字母来普遍表示。那么我们就要把指数和底数全部都变成未知数，也就是字母。a的m次方×a的n次方。我们可以把它解释成m个a相乘，乘n个a相乘，那么一共也就是m加n个a相乘。这也就是此规律的符号语言，但是值得注意的是，a，m和n是有取值范围的，a可以是任何有理数，在这里并不受限制。而和必须是整数，否则的话不可能是零点几个a相乘。那么除了符号语言，剩下的就是文字语言。文字语言是站在符号源的基础上 把算式解释成文字:同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

第二个部分就是幂的乘方。我写一个式子，比如:

这个式子应该怎么算呢？首先我们可以把这个式子变成:2的2次方×2的二次方×2的二次方 ，也就是说把这个式子变成三个二的二次方相乘，这也就把它转化成了同底数幂的形式，通过我们刚才探索过的，这个式子也就变成了二的六次方。由此我们可以惊奇的发现，括号外的指数和括号内的指数相乘底数不变，是这个式子的规律。但是还是那句话，这仅仅是一个个例，如果想要证实此规律，就需要是一个普遍的规律。如下:

这样就能证明这是一个普遍规律了，这里的取值范围是和为整数。那么这就是幂的乘方的符号语言，文字语言呢？也就是通过语言把此规律描述出来。幂的乘方运算，底数不变，指数相乘。

通过幂的乘方，我们可以拓展出来的也就是积的成方。那的乘方是一个单独字母的乘方的乘方，而积的乘方也就是好几个字母的乘积的乘方。我举一个式子，比如:

也就是说，我们可以先算2×3，然后再算2×3的2次方。也可以先算二的二次方程三的二次方，然后再把两个数的乘积加在一起，这两种变形是相等的。但是这仅仅是个例，那么普遍一些呢？

这个式子也就是ab的乘积的m次方，那么我们可以把它拆开，把它拆成a的m次方乘b的m次方，在这里必须为整数 。这就是积的乘方的规律。

还有一种乘法运算，可以运用乘法分配率来计算，比如:

也就是说用括号前面这个分别乘括号里面的a和括号里面的b，所以我们就可以把它变成a乘a加a乘b，这就是运用了乘法分配率。

这就是整式的乘法的探索，目前我们就探索了这几个部分。接下来探索的就是整式的除法。

首先是单项式除以单项式。比如:

我们可以把十的八次方看成八个十相乘，把十的三次方看成三个十相乘，八个十相乘除 以三个十相乘，通过抵消我们可以得出是五个十相乘，那么也就是10的5次方。由此我们可以神奇的发现，这个式子中除法的运算是指数相减，也就是8—5 。但是这仅仅是一个个例，普遍的例子呢？

这也就是一个普遍的例子，也就是本规律的符号语言。当然除了这种运算方法，我们还可以把它化成分数运算，如下图 :

但是值得注意的是，当我们来到除法的探索的时候，a的取值范围就有了限制，a不可以等于零，因为零的任何次方都等于零，而当被除数等于零的时候，这个式子就已经没有意义了。而m，n必须为整数。

当然在单项式除以单项式的时候，除了可以除成正数的，也有可以除成负数的。比如:a的m次方除以a的n次方，如果m小于n呢？那么得出来的就是一个负数次方，那么具体是怎样运算的呢？见下图 :

这就是整个的推导过程。首先先把这个式子变成分数的形态。然后再通过分子和分母同时除以一个数，最后得出答案。当然除了最后答案可能是负数的 还有可能最后除出来的答案是a的零方。这种情况也就是当m等于n时，这种情况最后的答案一定等于一。那么有很多人会有疑问，既然是零次方，最后为什么会等于一呢？

因为在分母上有n个a，在分子上有m个a，其实也就相当于在分子上也有n个a，那么上下同时除以n个a，也就等于1分之1，最后等于1。

说完了单项式除以单项式的除法，就应该说多项式除以单项式了。这个方法和单项式除以单项式的除法一样，都是把它变成分数的形式。但是不同的是，我们首先要在分子上提取分母上的项，把它转化成分子和分母为同一项，然后后面再乘一个单项式，通过分数的基本性质把相同的项式给消掉，最后得到这个不同的项式是最后的结果。

而目前我们还没有探索到多项式除以多项式。这就是整式的除法。但是当探索完这些之后，我们可以在某些式子的运算中摸出普遍规律，这也就是我们下面学到的平方差公式和完全平方公式。

而这些公式都是通过一个一个个例的试验，最后再变成了普遍的公式。比如平方差的公式是（a+b）×（a—b）=a的二次方减b的二次方，这个工具还是非常全能的，我们可以把不同的式子经过调换位置或者乘—1变成平方差公式的形式。

还有完全平方公式，我们可以把完全平方公式分为两类，完全平方和公式和完全平方差公式。

完全平方和公式:a加b的和的二次方=a的二次方加2ab减b的二次方。我们也可以用图形解释:

完全平方差公式:a减b的差的二次方=2次方减二ab加b的二次方。我们可以用图形来解释完全平方和公式:

就是这个样子解释，这就是我们整式乘除的探索，让我们探索完整式的乘除之后 我们后面还会探索因式分解，也就是和多项式除以单项式的方法是一样的 ，敬请期待哟。