Ｋ近邻模型原理（二）

ｋ近邻的最简单实现方法是线性扫描，有时也称为蛮力实现，其通过计算新的输入实例与每一个训练实例的距离，然后找出最小距离的ｋ个实例点，紧接着根据决策规则进行预测．当训练集很小时，这种方法显得有效；而当样本量很大时，计算量也随之增大，这将非常耗时．

为了提高ｋ近邻的搜索效率，可以考虑将训练数据使用某种结构进行存储起来，进而减少计算距离的次数，这样的方法有：kd树，球形树，BBF树，MVP树等．下面只介绍其中的kd树．

一. kd树

kd树是二叉树，表示对ｋ维空间的一个划分 (也就是说这里的ｋ是指维数). 其实现过程分为两大步骤：构造和搜索．

1. 构造kd树

过程大致描述为: 构造根结点(根结点对应的是ｋ维空间中包含所有实例点的超矩形区域)，在超矩形区域上选择一个坐标轴和此坐标轴上的一个切分点，通过一个超平面(该超平面通过选定的切分点并垂直于选定的坐标轴)将当前超矩形区域切分为左右两个子区域(也称为子结点), 这时，实例被分到两个子区域．不断地重复切分过程直到子区域内没有实例时终止，终止时的结点称为叶结点．

2. 搜索kd树

给定一个目标点，搜索其最近邻，其大致过程描述为:
首先找到包含目标点的叶结点(即包含目标点的最小超矩形区域)，然后从该叶结点出发，依次退回到父结点，不断地查找与目标点最邻近的结点，当确定不可能存在更近的结点时终止，这样就可以将搜索限制在局部区域上，进而提高搜索效率．

对于搜索ｋ近邻的过程，大致可以总结为以下几步：
１）寻找包含目标结点的叶结点
　　从根结点出发，若目标点当前维的坐标小于切分点的坐标，则移动到左子结点，否则移动到右子结点．直到向下访问到叶结点为止．
２）选择好的叶结点作为当前最近点
３）从叶结点向根结点退回，在每个结点进行以下操作：
　a. 如果该结点中包含比当前最近点距离目标点更近的实例点时，以该实例点作为当前最近点．
　b. 检查另一子结点对应的区域是否与＂以目标点为球心，以目标点与当前最近点的距离为半径＂的球体相交．若相交，则移动到另一子结点，搜索更近的实例点；若不相交，则继续向根结点退回．
４）当退回到根结点时，第一轮搜索结束，最终选择的当前最近点即为最近邻点，并将当前最近点从根结点中移动到近邻点集合中．
５）通过以上搜索得到第一近邻点，重复上述步骤k-1次，最终将得到ｋ个近邻点．

2. 预测

如果是分类问题，归纳为ｋ个近邻点中最多数的那个类别；如果是回归问题，用ｋ个最近邻点输出的平均值作为预测值．

参考:
李航博士著＜统计学习方法＞