高中奥数 2021-11-20

2021-11-20-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的概念及代数运算 P009 习题1）

已知(、为非零实数),存在一个虚数,使为实数,则与的关系是( ).

(A)不能比较大小

(B)

(C)

(D)

解

事实上

2021-11-20-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的概念及代数运算 P009 习题2）

若、、 ,则是成立的( ).

(A)充分但不必要条件

(B)必要但不充分条件

(C)充分且必要条件

(D)既不充分也不必要条件

解

充分是明显的;若取,,,有,而,即说明条件是不必要的.

2021-11-20-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的概念及代数运算 P009 习题3）

已知实数、、满足,则点的轨迹是( ).

(A)直线

(B)圆心在原点的圆

(C)圆心不在原点的圆

(D)椭圆

解

将题设之式整理得

则,(1)

且.(2)

由(2),,代入(1)得

即,

故应选取C.

2021-11-20-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的概念及代数运算 P009 习题4）

已知复数、满足,且为纯虚数,求证:复数是实数.

解

令,由于等价于.

于是,有,故知复数是实数.

2021-11-20-05

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的概念及代数运算 P009 习题5）

已知,试问复数所对应的点在第几象限?复数z所对应点的轨迹是什么?

解

因为,

所以,,故复数所对应的点在第四象限内.

设,则消去,得.

所以,复数所对应点的轨迹是以为端点的一条射线.

2021-11-20-06

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的概念及代数运算 P009 习题6）

设、且,,,试问:A与B能否比较大小关系?若能,请指明大小关系;若不能,请说明理由.

解

只有当与均为实数时,二者之间才能比较大小.

因为,所以是实数.

又因为,所以也是实数.

故、二者之间可以比较大小.

事实上

$\begin{aligned} A-B&=z_{1}\left(\overline{z_{1}}-\overline{z_{2}}\right)-z_{2}\left(\overline{z_{1}}-\overline{z_{2}}\right)\\&=\left(z_{1}-z_{2}\right)\left(\overline{z_{1}}-\overline{z_{2}}\right)\\&=|z_{1}-z_{2}|^{2}\\&\geqslant 0. \end{aligned}$

当时;当时,.

注

(1)在比较两实数的大小时,对“不小于”“不大于”的情形,要对其中的“相等”分而述之.

(2)以来说明为实数是复数问题中的常用做法.

2021-11-20-07

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的概念及代数运算 P009 习题7）

求证:.

证明

设,则.

左边,

$\begin{aligned} \text{右边}&= \left[a\left(-1-\sqrt{3}\mathrm{i}\right)+2b+c\left(-1-\sqrt{3}\mathrm{i}\right)\right]^{3}\\&=\left(2a\overline{\omega}+2b+2c\omega\right)^{3}\\&=\left[\overline{\omega}\left(2a+2b\omega+2c\omega^{2}\right)\right]^{3}\\&=\left(2a+2b\omega+2c\overline{\omega}\right)^{3}. \end{aligned}$

所以左边右边,等式成立,证毕.

高中奥数 2021-11-20

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