实数、虚数和复数

实数

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我们想象到的数差不多都是实数。

 

实数包括：

• 整数 ： 像 0、1、2、3、-1、-2 等等。
• 有理数： 像 3/4、0.125、0.333……、1.1 等等。
• 无理数：想 π , √2 等等。

 

什么不是实数：

• 虚数： 像  √−1 。
• 无穷大

实数直线（用几何直线来描述实数）：

实数是相对虚数来说的，直到有虚数后，才把非虚数叫做实数。

 

虚数

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虚数的定义：虚数的平方是负数。如：

但是，正数的平方是正数、负数的平方也是正数，也就是一个数的平方永远是正数或零。

 

那么虚数有什么用？可以用来做什么？

 

我们可以假设有这样的数，称之为 i：

 

i * i = -1

两边开平方根得到

也就是 i 是 -1 的平方根。

 

如果我们接受了 i 的存在，就可以解答很多牵涉到负数平方根的问题了。

 

例子：-9的平方根是多少？

 

解答： √−9  = √(9 × −1) = √(9) × √(−1) = 3 × √(−1) = 3i

 

所以，负数的平方根等于该数为正时的平方根乘以 i：

 

√(−x) = i√x

有了虚数后，我们就可以解开一些之前无法求解的方程。

 

例子：解  x^ 2  = −1。

 

解：

x = ± √(−1)

x = ± i

检验结果：

(−i)2 = (−i)(−i) = +i2 = −1

(+i)2 = (+i)(+i) = +i2 = −1

 

实数的“单位”是 1，虚数的“单位”是 √(−1)，在数学中用 i 表示虚数。

 

虚数的用处？

 

虚数和实数结合在一起成为了复数，复数的用途非常广大。

 

虚数有趣的属性

 

虚数单位 i  有个有趣的属性。它自乘的积在四个答案里"循环重复"：

结论： 虚数不是"虚"幻的，它实际存在，并且非常有用。

 

 

复数

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复数是实数和虚数的组合：

 

如： 1 + i、 39 + 3i、 0.8 − 2.2i、  −2 +  π i、  √2 + i/2

 

注意：复数是两个数加起来的，一个是实数部分，一个是虚数部分。 但这两部分都可以是  0 ，所以所有实数和虚数都是复数。

 

复数的直观解释

 

实数直线是从 左向右 的， 虚数就是从上到下， 复数平面 ：

一个复数是在复数平面上的一点：

复数的加法

 

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

例子：3 + 5i 加 4 − 3i

 

 

 

复数的乘法

 

(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2

简便计算：

 

(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i

共轭

 

复数的除法需要用到共轭。

 

共轭是把中间的正负号改变，像这样

共轭的一般符号是上面放一条横线：

 

5 − 3i   =   5 + 3i

复数的除法

 

技巧是把 上面和下面 都乘以 下面的共轭 。

 

例子：

解：

简便计算：

 

(a + bi)(a − bi) = a^2 + b^2

解：

 

复数的用处？

 

1）频谱分析仪： 播放音乐时时常会看到的频谱显示就是用复数计算出来的，使用的数学技巧叫 "傅里叶变换"。

 

2）电学： 当我们把两个不对称的交流电合并时，计算合并后的电流是 非常困难 的。 但是，利用复数就可以使得计算简单很多。

 

3） 曼德勃罗特集： 美丽的曼德勃罗特集是基于复数的。