WiFi感知中的多普勒频移

引言：

多普勒效应（doppler effect）与多普勒偏移（doppler shift）代表相同含义，只是在文献中表达不同。

产生原因：

波源和观察者之间速度的相对差异是产生多普勒效应的原因

原理：

第一种表示形式：
  当波源与观测者以速度$v$做相对运动时，有
$$f_r=f_t\left(\frac{1+v/c}{1-v/c}\right)=f_t\left(\frac{c+v}{c-v}\right)$$
  其中，$f_r$是观测者接受到的频率，$f_t$是波源的频率，$c$代表光速
  多普勒频移$f_d$可以表示为：
$$f_d=f_r-f_t=2v\frac{f_t}{(c-v)}$$
  由于 $v\ll c$，因此多普勒频移$f_d$可以约等于成：
$$f_d\approx 2v\frac{f_t}{c}$$

第二种表示形式：

  波源静止，当接收端以恒定的速率 $v$ 在长度为d，端点为 X和 Y的路径上运动时收到来自波源 S发出的信号，无线信号从波源S出发，在X点与Y点被接收端接收时所走的路径差可近似表示为:
$$\Delta \mathrm{l}=\mathrm{d}\cdot \cos \Theta =v\cdot \Delta \mathrm{t}\cdot \cos \Theta$$
  每个波长对应 $2\pi \mathrm{rad}$ 的相位变化，由于路程差造成的接收端信号相位变化值为:
$$\Delta \phi =2\pi \cdot \frac{\Delta \mathrm{l}}{\lambda }=2\pi \cdot \frac{v\cdot \Delta \mathrm{t}}{\lambda }\cdot \cos \Theta$$
  求相位和时间的导数，可得到相位随时间的变化率，即角频率 $\mathrm{w}$ 为:
$$\mathrm{w}=\frac{\Delta \phi }{\Delta \mathrm{t}}=2\pi \cdot \frac{v}{\lambda }\cdot \cos \Theta$$
  多普勒频移与角频率的关系为: $w=2\pi {\mathrm{f}}_{\mathrm{d}}$
$$\text{ 即 }{f}_d=\frac{1}{2\pi }\cdot \mathrm{w}=\frac{v}{\lambda }\cdot \cos \Theta$$
  波长与频率之间的关系式为：
$$\mathrm{c}=\lambda \cdot {\mathrm{f}}_{\mathrm{t}}$$
  所以多普勒频移的关系式也可以是这样：
$${\mathrm{f}}_{\mathrm{d}}=\frac{1}{2\pi }\cdot \mathrm{w}=\frac{{\mathrm{f}}_{\mathrm{t}}\cdot v}{\mathrm{c}}\cdot \cos \Theta$$

无线感知中的应用

  当人在环境中移动时，人体反射信号的路径长度会发生相应的变化，这会在反射信号的载波频率上引入多普勒频移：
$$f_{\text{d }}=f\frac{v_{\text{path }}}{c}$$
  其中，$f$代表信号载波的中心频率，$v_{\text{path }}$代表路径长度变化的速度(小问题：这个速度是否约等于人体移动的速度)，$c$代表光速
  注意：对于5GHz的WiFi信号，例如64信道，其中心频率为5.32GHz，那么人体行走的最大速度1.5m/s，则$f_{\text{d }}$约等于27Hz。从大得多的载波频率中检测出如此细微的多普勒频移是很困难的。有问题待修正……
  幸运的是，商品 Wi-Fi 设备上可用的 CSI 信息可以仅用几百赫兹的采样率来估计多普勒频移。对于 Wi-Fi 信号，CSI 表示信号从发射器到接收器每个子载波的幅度衰减和相位变化，我们可以通过相位的变化推导多普勒频移。
仅考虑一个入射信号，CSI在$t_0$可以表示为：
$$x\left(f,t_0\right)=A_0{e}^{-j2\pi f{\tau }_0}$$
  其中，$A_0$代表幅度衰减，${\tau }_0$代表时延，即信号从发射端到接收端传播的时间
  如果传播路径长度以$v$的速度变化，而我们忽略幅度衰减变化，则经过短时间$t$后，路径长度变化$\Delta l_{\text{path }}=vt$，时延变化$\Delta \tau =\frac{vt}{c}$，此时CSI可以表示为：
$$x\left(f,t_0+t\right)=A_0{e}^{-j2\pi f\left({\tau }_0+\frac{vt}{c}\right)}=x\left(f,t_0\right)e^{-j2\pi f\frac{vt}{c}}$$
  其中的$f\frac{v}{c}$即代表多普勒频移。
  对于多个入射信号，CSI可以表示为：
$$x\left(f,t_0+t\right)=\sum _{i=1}^L{A}_i{e}^{-j2\pi f\left({\tau }_i+\frac{v_{i}t}{c}\right)},$$
  其中，$L$代表路径个数, ${\tau }_i$代表 $t_0$时刻第$i^{\text{th }}$条路径传播时延, $v_i$ 代表第 $i^{\text{th }}$条路径变换的速度。第 $i^{\text{th }}$条路径的多普勒频移即$\left(f\frac{v_i}{c}\right)$。因此，如果 CSI 的采样率大于最大多普勒频移的两倍，我们就可以得到每个路径信号的多普勒频移。对于步行速度，CSI所需的采样率在几百赫兹以下，这在商品Wi-Fi设备上很容易实现。

体现到CSI数据上

对CSI做STFT，得到多普勒频移，根据公式$f_{\text{d }}=f\frac{v_{\text{path }}}{c}$，得到$v_{\text{path }}$

参考文献

IndoTrack: Device-Free Indoor Human Tracking with Commodity Wi-Fi