[矩阵论]哈尔滨工业大学全72讲

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哈尔滨工业大学严质彬教授的矩阵分析课程，讲解了矩阵分析的基础知识和重要性。教材没有特别指定，建议购买北京理工大学的水荣昌的《矩阵分析》。课程假定学生已经学过高等数学中的线性代数，旨在为控制学科打下基础。讲授了线性空间和线性映射的概念，介绍了集合的笛卡尔积和映射的记号。

00:00 矩阵分析课程介绍：这个视频是关于矩阵分析课程的介绍。讲师强调了矩阵分析在控制学科方向的重要性，并提醒大家要重视这门基础课。教材方面，虽然没有特别指定，但一般的矩阵分析书都是相似的，可以去购买或借阅。讲师强调在听课过程中要记笔记，而且多维思维过程有助于消化和吸收知识。讲师推荐了一本名为《矩阵分析》的书。之后，讲师开始讲课，第一章是关于线性空间和线性映射的概念，假定学生已学过大学的高等数学和线性代数。
04:26 运算系统玉：本视频讲述了一个运算系统的概念，称为玉。玉是一个拥有加法、减法、乘法和除法四种运算的系统。在玉中，加法和乘法有逆运算，即减法和除法。然而，如果一个运算系统中的减法和除法不能进行，那么该系统就不能被称为玉。为了让运算系统封闭，即所有运算都可以进行，推动数学发展的一个重要动机就是扩大运算系统的范围。举例说明了整数和有理数是如何满足这个要求的。
08:50 ✖️有理数的概念：这个章节介绍了有理数的概念和起源，有理数是可以用两个整数的比表示的数，而无理数则不能。比达哥拉斯在古希腊时期发现了无理数，这引起了数学界的震动。有理数集合是可以进行加减乘除运算的，称为有理数域。除了有理数域外，还有实数域和复数域。这三个域是常见的数学运算系统。
13:17 集合的乘法：本章节介绍了集合的乘法，即卡特尔积。卡特尔积是从两个集合中取出一个元素，构成有序对的集合。所有这些有序对构成了一个新的集合，称为两个集合的卡特尔积。卡特尔积的元素个数等于两个集合的元素个数的乘积。卡特尔积的概念源自解析几何的笛卡尔坐标系，被认为是数学上的伟大进步。
17:42 卡特安乘积和映射的符号表示：本章介绍了卡特安乘积和映射的符号表示。卡特安乘积是用两个数来定位一个平面的思想，对于现代数学来说已经很常见了。映射的符号表示中，箭头前后连接的是集合和集合中的元素，用来表示从一个集合到另一个集合的映射关系。带箭尾的箭头表示连接的是集合，而不带箭尾的箭头表示连接的是集合中的元素。比如sin x是一个从一个集合到另一个集合的映射。

 

02

介绍了线性空间的概念和运算规则。线性空间是指一个集合，其中包括了加法和数乘法运算。加法满足交换律、结合律和存在零元素的规则，数乘法满足分配律和存在单位元素的规则。同时，数乘法的数通常写在向量的右边。这些运算规则是线性空间的基础，也是理解和应用线性代数的关键。

00:00 向量空间和运算规则：这个章节讲解了sin函数和派的概念，以及加法和数乘法在向量空间中的运算规则。通过取两个元素进行运算，可以得到一个新的元素。这些运算规则包括交换律、结合律和分配率。线性空间也被称为向量空间，其中的元素被称为向量。
04:45 ➕加法的基本规则：这个章节介绍了加法的一些基本规则。交换律指的是加法的顺序可以交换，结果不变。结合律指的是多个数相加的顺序可以改变，结果不变。零元指存在一个元素，与任何数相加都等于该元素本身，类似于数字零。相反数指对于任何一个数，都存在一个与之相加等于零元的数。这些规则适用于抽象的运算系统，不仅仅局限于数字。
09:52 ➗数学中的运算规则：这个视频章节介绍了数学中的运算规则，包括加法的交换律和结合律，以及数乘法的分配率。通过解释不同的运算方式，讲解了数乘法和向量相加的区别，以及数乘法与单位元素的关系。总结了数学中的运算规则共有八条，包括四条加法规则和四条加法与数乘法之间的关系规则。
14:19 线性空间的概念和运算规则：本章介绍了线性空间的概念和运算规则。线性空间是一种抽象的运算系统，用来模拟和理解现实中的几何空间。线性空间的命名只是一个习惯，并没有其他特殊意义。在线性代数中，通常把数乘法的数写在向量的右边，这样可以将其理解为矩阵乘法。这种约定的理由是为了统一表示方式，方便理解和计算。
19:06 ✖️矩阵乘法和数乘法规定：这个视频讲解了矩阵乘法和数乘法的规定。如果向量是列向量，数乘法的数写在右边；如果向量是行向量，数乘法的数写在左边。这个规定可以将数乘法和矩阵乘法看作同一事物，并且可以应用于矩阵技巧。视频还介绍了线性空间的定义和运算规则。

 

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介绍了线性空间的概念和几何空间的关系。其中，集合v代表有向线段的全体，加法采用平行四边形法则，数乘采用同向或反向伸缩，验证了加法和数乘满足八条运算规律。通过几何示意图，说明了加法的结合律和数乘对加法的分配率。视频强调了数学的逻辑结构和几何性质的联系，以及抽象运算规律所包含的重要信息。

00:00 集合的笛卡尔积、线性空间和几何空间：视频讲述了集合的笛卡尔积、线性空间的定义和几何空间的概念。集合的笛卡尔积是指从多个集合中取出一个元素组成一个元组，形成一个新的集合。线性空间是指给定一个集合，通过定义加法和数乘法，构成一个满足八条规则的空间。几何空间是我们生活中的三维立体空间，包括前后左右上下等方向。视频提醒观众可以通过练习来验证加法和数乘法的规则。
04:21 线性空间的抽象框架和几何空间：本章介绍了如何用线性空间的抽象框架来理解几何空间。首先，集合v被定义为有向线段的全体，其中有向线段的方向不同被认为是不同的。两个有向线段如果能够通过平移重叠，则被看作是同一个。其次，f表示实数域，加法采用平行四边形法则，即将两个有向线段的起点移到同一点，然后以这两条边作为邻边构造一个平行四边形。
08:43 有向线段的加法和数乘法：本章节主要讲解了有向线段的加法和数乘法。有向线段可以用希腊字母表示，加法等价于三角形法则，即将两条线段的起点移到同一点，以它们为邻边构成平行四边形，对角线即为平行四边形法则。数乘法可以选择同向或反向伸缩，正数表示拉长，负数表示缩小。最后提到验证这八条绝不是一件平凡的事情，需要用线性空间的概念来捕捉几何规律。
13:14 加法的结合律在几何空间中的应用：这个视频讲解了加法的结合律在几何空间中的应用。通过作图演示，证明了无论向量在空间中的位置如何，它们的和在同一个平面内。这个过程涉及到平行四边形的判定定理和立体几何的证明方法。这个几何性质展示了数学的逻辑结构和威力。
17:36 ➕阿尔法加贝塔和伽马加的运算结果：本章介绍了阿尔法加贝塔和伽马加的运算结果，以及阿尔法加贝塔再加伽玛的结果。通过三角形法则验证了加法的结果是一样的。同时，讨论了抽象运算集合中加法的运算规律是否符合，以及加法的结合律和分配率的作用。通过作图过程展示了数乘法的分配率。

 

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介绍了线性空间和函数空间的概念。线性空间是指由向量组成的抽象集合，满足加法和数乘法的运算规则。函数空间是以函数为元素的抽象集合，其中每个函数都可以看作是具有多个分量的向量函数。通过定义加法和数乘法的规则，可以将函数空间中的函数作为向量进行运算。视频还提到了线性相关性和线性空间维数的重要性。

00:00 数乘法与几何关系：这个章节主要介绍了数乘法对加法的分配率和几何命题的关系。通过相似三角形的原理，可以证明几何空间中的数量乘法可以转化为代数运算。这种思维过程进一步深化了代数几何的研究，将几何空间翻译成线性空间，并将线性空间中的元素称为向量。这种数学思维可以沟通不同的事物，如向量和函数空间。
05:08 字体和符号区分方法：本章介绍了不同的字体和符号的区分方法，其中包括手写体字母kographic和黑半体blackboard。在技术性文档中，要尽可能专业。讨论了函数空间的概念，即以函数为元素构成的集合，其中函数的定义由区间i和n求谱rn决定。函数空间的元素可以是具有不同分量的向量值函数，例如sin(x)和1/2x的三次方。
10:21 函数空间中的二维向量值函数：这个视频讲述了函数空间中的元素是以零一区间为定义域，具有两个分量的二维向量值函数。函数空间是以函数为元素的抽象集合。视频还介绍了函数空间中的加法和数乘法的规定，即分量相加和分量相乘。这些概念对于研究现代控制理论很重要。
15:25 线性空间的概念和维数：这一章节主要介绍了线性空间的概念和相关性，以及线性空间的维数的几何特性。向量组是由向量构成的有限序列，而抽象矩阵则是将向量组按照横向或纵向排列而成的矩阵。引入向量组和抽象矩阵的目的是为了方便后续的理论研究和技巧应用。

 

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介绍了线性空间的概念和运算规则。线性空间是一个抽象的集合，其中定义了加法和数乘两种运算。运算规则包括交换律、结合律、零元素和数乘分配率等。视频还介绍了三个经典的例子：标准线性空间、几何空间和函数空间。视频的目的是将几何空间的解析几何方法迁移到抽象的线性空间中，重点在于建立坐标系和讨论线性相关性。线性相关性指存在非零的线性组合得到零向量，线性无关则相反。

00:00 线性空间的概念和运算规则：本章节主要介绍了线性空间的概念和运算规则。线性空间是一个抽象的集合，其中定义了加法和数乘两种运算。加法满足交换律、结合律、零元和复原性质，而数乘与加法之间有两个分配率。另外，乘法也具有预算律和单位元的性质。作者还介绍了三个经典例子，其中包括了标准线性空间和几何空间的概念。
04:34 几何空间和函数空间的概念：这个视频讲述了几何空间和函数空间的概念，并介绍了线性空间的引入和坐标系的概念。线性空间是为了将几何空间的解析几何方法抽象到一般的线性空间框架下，其中坐标系是核心概念。向量组是线性空间中的元素序列，可以用抽象矩阵表示。线性相关性理论是在抽象的线性空间理论中发展出来的，下面将对向量组的线性相关性进行定义。
09:07 线性相关和线性无关的概念：在这个视频章节中，讲解了线性相关和线性无关的概念。向量组是线性相关的，意味着存在非零的线性组合使得结果为零向量。而线性无关的向量组则不存在这样的线性组合。这两个概念是互为否定的，可以通过逻辑技巧来理解。在线性代数中，关于线性相关性的概念是比较难懂的。
13:47 存在性的逻辑量词和其否定：本章节讲述了关于存在性的逻辑量词和其否定的概念。在数理逻辑中，存在一个对象具有某种性质可以表示为存在量词加上一个命题函数。对于存在一个同学年龄超过30岁这个命题的否定，可以表示为任意一个同学的年龄都不超过30岁。类似地，对于线性相关的否定，可以表示为对任意的符号都不满足线性相关。
18:21 线性无关的概念和定义：这个章节介绍了线性无关的概念和定义。线性无关的意思是，对于任意给定的不全为零的p个数，它们的线性组合都不等于零，即每一个分量都不为零。这个概念是线性相关的否定，是现代抽象代数中的一个重要概念。

 

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讲述了线性相关和线性无关的概念，以及如何用抽象矩阵和线性方程组来描述它们。通过引入矩阵和线性方程组的语言，我们可以更好地理解线性空间和线性代数的技巧。视频还介绍了向量组的线性表示和矩阵方程的概念，并强调了线性表示的传递性。最后，视频指出了矩阵方程的解与线性表示的关系。以简洁的语言描述，矩阵方程组的解可以推出向量组的线性表示。

00:00 线性相关与无关：这个章节主要介绍了线性相关和线性无关的概念，以及如何用矩阵语言来描述线性方程组的相关性。线性相关指的是存在非零解，而线性无关指的是只有零解。通过将线性方程组转化为向量组的语言，我们可以更方便地理解相关性的概念。这个概念的转换对于理解抽象线性空间中的概念非常重要。
08:18 向量组的线性表示：这个视频讲述了向量组的线性表示的概念。一个向量贝塔可以由一个向量组阿尔法线性表示，意思是贝塔可以写成阿尔法向量的线性组合。另外，一个向量组贝塔可以由另一个向量组阿尔法线性表示，意思是向量组中的每个向量贝塔都可以由阿尔法向量的线性组合表示。这个概念也可以用矩阵表达，即贝塔可以表示为阿尔法的系数矩阵与阿尔法向量的线性方程组。最后，这个视频还提到了齐次线性方程组和非齐次线性方程组的概念。
11:07 线性方程组与向量空间：这个视频讲述了线性方程组和向量空间的关系。通过翻译线性方程组的概念为向量空间的语言，或者反过来，用向量空间的语言来理解线性方程组，可以更好地理解线性代数中的技巧。矩阵方程可以表示向量组的线性表示关系，而解决矩阵方程可以利用线性空间的技巧。这种联系是双向的，具有传递性。
16:41 向量组的线性表示与矩阵方程：这个视频讲解了向量组的线性表示和矩阵方程的关系。通过线性组合，一个向量组可以由另一个向量组表示。使用矩阵方程，将向量组的系数和右端项表示为矩阵，可以简洁地描述线性关系。如果一个矩阵方程有解，那么可以推出向量组可以由另一个向量组线性表示。这个理论在数学中被广泛应用。

 

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介绍了矩阵和线性方程组在抽象向量处理中的应用，强调了举证分析和矩阵论的重要性。视频中提到了万物皆举证的观点，以及线性相关和线性无关的概念。视频还探讨了极大线性无关组的定义和性质，并与生成组进行了对比。最后，视频使用反证法证明了极大线性无关组的唯一性。

00:00 矩阵论与线性相关：这个视频章节讲述了矩阵论和举证分析的重要性，以及线性相关和线性无关的概念。通过将抽象的事物化为矩阵，并用矩阵的语言来理解具体的事物，我们可以发现万物皆矩阵，举证是无处不在的。线性相关和线性无关的概念是为了模拟和抽象笛卡尔坐标系的思想，并将其应用于任意的线性空间中。向量组的极大线性无关子组是从一个向量序列中抽取出的子序列，顺序的不同会导致不同的向量组。
04:55 贝塔成为阿尔法：这个视频讲述了贝塔成为阿尔法的直组后，如何符合极大线性无关的要求。极大线性无关指子组、无关和极大三个要求。极大代表无法再增加像素，否则就变成线性相关。此外，极大性可以换一种要求，即生成性，即可通过线性组合生成所有其他向量。
09:45 深层性生成与生存：这个章节讲解了深层性生成性和生存性的等价性，并要求观众回去证明这个事实。还介绍了线性无关的生成组和生存组的概念，以及如何通过加法和数乘法运算重新构造向量组。最后，讲解了生成组和底卡尔坐标系的关系。强调了理解这些概念的重要性，并提醒观众完成相关作业。
14:41 三维空间中的向量组：这个章节讲解了在三维几何空间中，如何选择极大线性无关的向量组。如果选择的向量组不是极大线性无关的，那么无法进行有效的沟通和研究。为了建立解析几何的逻辑基础，必须证明在任意给定的向量组中，极大线性无关向量的个数是唯一的。通过画图和逐步推导可以得出结论。
19:36 ❓反证法与矩阵方程：该视频讲述了如何使用反证法来证明两个变量s和t的关系，以及矩阵方程的解的存在性。通过引入矩阵和线性方程组的概念，用简单易懂的语言解释了极大线性无关词组、传递性和线性表示的概念。最后，通过具体的例子说明了矩阵方程的有解性。

 

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介绍了线性空间的相关概念和性质，包括线性相关性、秩和坐标系。通过讨论向量组的极大线性无关组和生成性，引出了向量组的秩的定义，并说明了秩的唯一性。然后，视频讲解了坐标的概念和使用基矩阵进行坐标表示的方法。最后，视频强调了线性空间和坐标系之间的相互转化，以及通过坐标系可以将抽象的向量转化为具体的数值。

00:00 矩阵与线性方程组概念：此视频章节讲解了关于矩阵和线性方程组的概念。通过解释抽象矩阵和实数矩阵的区别，以及函数小于列数的线性方程组和不定方程的关系，说明了扁的齐次线性方程组必有非零解。最后提到了需要用数学归纳法证明这个结论。
05:39 ✖️线性方程组存在非零解：该视频讲解了线性方程组中只有一个方程，但至少有两个未知数时，一定存在非零解的情况。讲解者通过两种情况的讨论来证明这一结论。首先，当第一个系数为零时，取第一个未知数为1，其他未知数为0，即可得到非零解。其次，当第一个系数不为零时，选择一个未知数为1，其他未知数为0，通过代入法可以得到非零解。最后，讲解者鼓励观众用数学归纳法来进一步证明这个结论。同时，视频还讲解了关于非零解的相关概念和性质。
11:16 线性无关性与向量组秩：本章节讲解了线性无关性和向量组的秩的概念。通过推导和证明，得出了向量组的极大线性无关子组的个数即为向量组的秩。秩不依赖于选取方式，是向量组的一个内在性质。通过线性无关性和秩的理论，可以在抽象的线性空间中模拟几何空间的解析几何思想，并定义维数、生成性和坐标等概念。
17:13 线性表示与坐标向量：线性表示的向量可以写成阿尔法的线性表示，袁老师强调数乘的系数写在右边。历史上，向量一般横向写，现在为节省纸张都写成列向量，但系数没有调过来。为方便阅读，向量都写成列向量，但系数要写到右边。如果满足条件，向量v称为n维线性空间，向量组称为基。向量阿尔法沿着基进行组合的系数拼成的列向量，称为阿尔法的坐标向量。基向量拼成的抽象矩阵称为基矩阵。抽象向量通过选定坐标系变成具体向量，反过来，具体事物可以通过抽象的线性空间来观察。

 

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介绍了线性空间的概念和定义，以及线性相关性的理论。它提到了三个重要的例子：标准线性空间、欧几里得几何空间和函数空间。视频还讲述了线性空间的维数和基的概念，并说明了线性空间之间的一一对应关系。这些内容对于理解线性空间和解析几何的应用非常重要。

00:00 线性空间的抽象概念：这个章节讲解了线性空间的抽象概念，定义了加法和数乘法作为线性空间的运算规则，并介绍了线性空间的动机和用途。举了三个例子：标准线性空间、欧几里得几何空间和函数空间，解释了它们如何构成线性空间。这些例子展示了线性空间的应用范围和重要性。
04:23 线性相关性理论：函数空间是以函数作为运算对象的集合，具有重要的数学应用。线性相关性理论研究了向量组的线性相关与线性无关的条件，以及向量组之间的线性表示。其中，极大线性无关组含有的向量个数是唯一的，被称为向量组的rank。将向量组表示为矩阵可以更好地理解线性相关性理论。加法可以被理解为一个映射，通过给定两个元素，可以计算出第三个元素。这种描述符合现代逻辑要求，也是严格的数学描述。
08:49 二元函数与有限维线性空间：这个章节主要讲述了二元函数的概念以及数乘和加法在二元函数中的应用。作者通过将二元函数与特殊的二元函数和Java进行比较，让人们更容易理解二元函数的概念。接着，作者介绍了有限维线性空间的概念和有限维线性空间的特点。有限维线性空间需要满足线性无关和可表示性的条件，而向量组可以通过线性组合来表示任意一个向量。最后，作者提到了线性表示的系数可以组成一个数组，称为向量在基向量下的坐标。
13:16 两个向量组的极大线性无关组：这个章节讲述了在同一个空间中，找到两个不同的坐标系，它们的个数必须是不变的。这种情况类似于研究线性相关性和线性无关组时遇到的问题。通过将问题转换为有限问题，我们可以利用已建立的理论，将两个向量组视为具有不同极大线性无关组的向量组。最后，要证明它们是极大线性无关组，我们可以根据已知条件进行积极推导。
17:39 线性空间的维数与线性映射的对应关系：这个章节主要讲述了线性空间的维数和线性映射的一一对应关系。通过一系列的概念、命题和例子的引入，解释了线性空间的维数只能是一个确定的数，不存在不同观察者对维数的不同解读。同时，介绍了映射的一对一和满射的概念，即对于定义域中的任意元素，都存在唯一的映射元素，以及对于输出空间中的任意元素，都存在原像元素。这些概念和理论有助于理解抽象线性空间与标准线性空间之间的对应关系。

 

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主要讲述了一一对应的概念，即任何一个像都有唯一的原相。通过方程的语言描述了一一对应的条件，以及可逆映射的等价性。视频还介绍了如何将几何问题转化为代数问题，通过建立坐标系和线性无关性来研究几何问题。最后，视频给出了标准线性空间的定义和标准基的概念。

00:00 一一对应的概念：这个章节介绍了一一对应的概念，即一个集合中的每个元素都对应另一个集合中唯一的元素。这种关系可以用方程或逆映射来表示。一一对应的好处是可以将两个集合视为相同的数据，即同构的。
05:40 映射的概念和作用：这个章节主要讲述了映射的概念和作用。作者通过解释笛卡尔的思想，将几何问题转化为代数问题。他介绍了映射的语言描述和映射关系的构成，以及如何验证映射满足满射和单射的条件。作者还详细说明了如何通过已知的k值找到对应的v值，从而实现线性组合。
11:20 关于坐标的定义和抽象向量的概念：这个视频中的章节讲解了关于坐标的定义和抽象向量的概念。首先，通过验证，得出这个映射是一个满射，即任何n元数组都可以作为某个抽象向量的坐标。其次，通过假设有两个向量v和v'，证明了它们的坐标是唯一的，即它们可以写成某种形式，但不代表它们不能写成其他形式。最后，通过讨论微信的来源，说明了抽象向量空间和标准线性空间的等价性。总之，这个章节解释了将几何问题转换为抽象向量的过程。
16:58 解析几何的概念和应用：这个视频章节介绍了解析几何的概念和应用。通过建立坐标系和使用代数方法研究几何问题，我们将几何问题转化为了代数问题，并将其模拟到抽象的线性空间上。标准线性空间是指n维数组的全体，它的标准基向量可以通过一一对应的方式表示。标准基向量的线性组合可以用来描述线性无关性，即如果一个向量可以写成这些基向量的线性组合，那么线性组合的系数必须都是零。这个视频中提到的标准基向量被称为标准机。

 

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讲解了线性方程组和向量空间的概念。它解释了线性方程组在向量空间中的几何意义，以及如何通过线性方程组来求解向量的坐标。视频还介绍了标准线性空间和任意向量组的条件，以及无限维空间的概念。通过这个视频，我们可以更好地理解线性代数中的关键概念和思维方式。

00:00 线性方程组与单位矩阵关系：这个章节讲述了线性方程组和单位矩阵的关系。通过换线性方程组的观点，可以将以基向量组成的矩阵作为系数矩阵，得出齐次线性方程组只有零解的结论。同时，也可以反过来说，标准基向量组成的基矩阵是单位矩阵。此外，还讨论了抽象向量空间中任意向量可以用标准基向量的线性组合表示，而这个向量的坐标就是它本身。
05:30 线性方程组与线性空间概念：这个视频讲解了线性方程组和线性空间的概念。在线性空间中，一个向量是否可以由一组基向量线性组合来表示，就取决于线性方程组是否有解。对于标准线性空间来说，它可以通过建立坐标系映射到一个n维坐标空间。而对于任意的向量组来说，只有当它的线性无关组的个数等于向量个数时，它才有资格成为一个基向量组。线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。
11:13 矩阵秩和向量线性无关性：这个章节主要讲述了矩阵的秩和向量的线性无关性。首先介绍了矩阵的行字、列字和零字的概念，以及行列式的定义。然后介绍了行字和列字的定义和意义，行字是行向量组的线性无关组的向量个数，列字是列向量组所含向量的线性无关组的向量个数。接着讲解了矩阵的核心矩阵是一个n行n列的正方形矩阵，如果矩阵的秩为n，则在加一列后的矩阵秩大于等于n。最后，讲解了n个向量构成一个G的充要条件是这n个向量自己是线性无关的，并且强调了几何与代数之间的转换。
16:55 无限维空间的概念：这个视频的章节主要讲述了无限维空间的概念。无限维空间是信号与系统中所学的信号的空间，即函数空间。函数空间是由一些数与函数构成的集合，其中函数的定义域与取值范围都在这个集合中。函数可以写成多项式的形式，而次数小于n的多项式的全体构成了函数空间的一个子集。因此，函数空间可以看作是由多项式构成的集合。这个概念对于理解信号与系统的相关内容非常重要。

 

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介绍了线性空间和多项式的相关概念。它讲解了线性空间的定义和性质，以及多项式的线性组合和表示。视频还证明了多项式的全体构成的空间是无限维的。最后，视频指出了信号空间是一个无限维的线性空间。

00:00 多项式线性空间：这个章节讲述了多项式构成的线性空间，以及无限维空间的概念。通过证明，在次数小于n的多项式线性空间中，可以找到n个线性无关的多项式，这些多项式可以表示其他多项式。因此，这个多项式线性空间是有限维的。
05:36 长值多项式：这个章节讲解了关于长值多项式的概念和特性。长值多项式是一个常值函数，它的常数项系数为1，其他次数项的系数都为0。通过选择不同的次数，可以得到不同次数的多项式。这些多项式是线性无关的，并且可以用来表示其他任意次数不超过n的多项式。线性无关性指的是只有当所有系数都为0时，线性组合才会等于0。
11:18 零函数与线性方程组：这个章节讲解了零函数的概念和多项式的系数与线性方程组的关系。零函数是指将任意自变量的值带入函数，得到的因变量值都为零。如果一个多项式将n个特定的值带入后结果都为零，那么这个多项式的系数应符合一个线性方程组。通过将这n个方程写成矩阵形式，可以通过计算行列式来判断系数是否满足线性方程组。
16:52 范德蒙行列式：这个视频章节讲述了范德蒙行列式的概念和应用。范德蒙行列式是一个非零行列式，用来研究多项式函数的表示和唯一性问题。如果一个向量组无法表示为另一组向量的线性组合，那么它就是无纤维的，也就是不是有限维的。通过引入范德蒙行列式，可以证明一个向量组是否是无纤维的。通过找到一个次数高于给定向量组的多项式，就可以证明向量组不是基。
22:28 多项式的次数和线性组合：本章主要介绍了多项式的次数和线性组合的概念。通过取最大项，可以证明x的次数加一比最大项还要大一次。如果一个多项式无法用一组线性表示，那么它可以用矩阵行列式来证明。通过反证法，可以得出多项式的次数加一是一个零函数。根据推理，可以得出所有系数都是零，与-1不等于零矛盾。因此，多项式的全体已经不再是有限维的，信号空间是一个无限维的线性空间。

 

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介绍了线性空间的维数和基的概念，以及如何将抽象的线性空间转化为标准线性空间。同时讲解了子空间的定义和性质，子空间是指在原线性空间中封闭于加法和数乘的非空子集。子空间本身也构成一个线性空间。

00:00 有限维线性空间的基与维数：本章讲述了有限维线性空间的基与维数的概念。有限维线性空间是指可以找到一组由n个向量构成的向量组，该向量组具有无关性和可表示性的特点。这里的无关性指向量组本身是线性无关的，可表示性指向量组可以将其他向量线性表示出来。这个向量组被称为基或坐标系，而一个向量在该基下的表示可以用一个n元数组表示，该数组被称为坐标。有限维线性空间的坐标与向量之间存在一一对应的关系。
05:39 线性空间中g的定义：这个视频讲述了线性空间中g的定义，其中要求g具有可表示性和无关性。可表示性指任何一个向量都可以用g表示出来，无关性指同一个向量不可能有两个不同的坐标。通过证明，可表示性和无关性保证了映射的第一条是满足的，即每一个抽象向量在固定基下的坐标是唯一的。这保证了映射的第二条是成立的，每一个抽象向量只对应一个向量。
11:21 一一对应与抽象线性空间的坐标系：这个视频章节讲解了映射关系中的一一对应，通过验证四条性质来确定一个对应关系是否是一一对应。同时，讲解了抽象线性空间的坐标系概念，将抽象空间转换为标准线性空间的过程。接下来将会介绍指空间和子空间的定义。
17:02 线性空间及其子空间的概念：该视频介绍了线性空间及其子空间的概念。子空间是线性空间的非空子集，具备封闭性质，即加法和数乘运算仍在子空间内。子空间本身也是线性空间，满足线性空间的定义。子空间的设计限制了加法和数乘的取值范围，确保运算符合线性空间的要求。子空间的概念对于理解线性空间具有重要意义。

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讲解了子空间的概念和生成子空间的方法。通过举例说明了子空间必须满足加法封闭和数乘封闭两个条件。同时介绍了生成子空间的概念，即一个向量组的线性组合构成的子集合。提到了生成子空间是子空间的一种表现方式，并且可以通过生成子空间的生成员来描述子空间。最后，介绍了矩阵的和与像的概念。

00:00 向量和子空间概念：这个视频中，讲解了三维几何空间中的向量和子空间的概念。通过取两个有向线段构成平面的基，构成平面上的所有向量。而子空间是指所有起点在原点、终点落在一条固定直线上的向量的集合。这个子空间对于加法和数乘不封闭，因此不能成为子空间。子空间的概念在后续课程中会进一步讲解其必要性。
06:31 向量组生成的子空间：这个章节主要讲述了向量组生成的子空间的概念。通过对向量组进行线性组合，得到的所有可能的向量构成了一个子集合，称为该向量组的生成子空间。该子空间具有一些性质，例如任意给定向量组的线性组合的系数，都可以得到该子空间。最后，证明了该子集合一定是向量空间的子空间。
12:06 子空间的概念和性质：该章节介绍了子空间的概念和性质。子空间是由向量组生成的，其中任意两个向量的线性组合仍在子空间内。子空间的生成组是指能够生成该子空间的向量组。通过反过来思考，可以找到一个向量组与子空间之间的关系。这一概念类似于父子关系的描述。
18:10 子空间的概念和矩阵运算：这个章节讲述了子空间的概念，子空间是一个向量空间的子集合，其中除了只含有零向量的子空间外，其他子空间都包含无限多个元素。生成组的概念提供了一种表示子空间的方式，通过列举生成组的有限个元素来表示整个子空间。此外，还介绍了矩阵的和与积的概念，其中矩阵的m乘n次方表示将该矩阵的元素作为元素进行n次列重复生成。

 

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讲述了子空间的概念和相关的运算。子空间是指向量的集合，可以由向量组成。视频介绍了两个重要的例子，一个是由给定的向量组成的子空间，另一个是由矩阵所生成的子空间。视频还讨论了子空间的交集和并集，并解释了它们是否仍然是子空间的条件。最后，视频强调了子空间的重要性，并提到了核空间和像空间的概念。

00:00 矩阵的概念和特性：本章节讲解了矩阵的概念和特性。矩阵是由一组数字构成的数组，按照特定的排列方式组成。矩阵的元素取自于一个数据集合。矩阵和向量的乘法满足一定的规则，可以得出矩阵的子集合。要验证一个子空间是否成立，需要满足两个条件：子集合中的向量相加仍在子集合中，且乘以矩阵后等于零。
04:59 ⚙️矩阵乘法与解空间：这个视频讲解了矩阵乘法的分配率和解空间的概念。通过矩阵乘法的结合律和定义，可以得出零乘以任意系数仍为零，并构成一个子空间。解空间是指齐次线性方程组的解的集合，而矩阵A的和则是以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间。另外，视频还介绍了矩阵A的像，即A乘以向量x在集合fm中的轨迹，被称为canon。
09:58 关于矩阵的概念和性质：本章节讲解了关于矩阵的概念和性质。矩阵可以由列向量组成，可以通过线性组合得到。矩阵的列向量组可以构成一个子空间，即由矩阵的列向量所张成的空间。矩阵的和等于零时，可以得到齐次线性方程组的解空间。这些概念对于理解矩阵的性质和应用非常重要。
15:05 ⛓️子空间的交与和运算：这个章节讲述了子空间的交与和运算，首先介绍了两个子空间的交集仍然是一个子空间的条件，然后通过具体的例子说明了交集的性质，并使用先决条件和定义进行推导和验证。强调了在学习数学概念时要仔细思考并逐步展示。
19:53 子空间的概念和性质：这个视频讲述了子空间的概念和性质。两个子空间的交集仍然是子空间，但并集未必是子空间。通过举例子，可以看出子空间的并集可能不满足封闭性。可以定义两个子空间的和空间，它是由两个子空间中所有可能的向量和构成的，是一个子空间。视频还介绍了两个重要例子，一个是向量组构成的子空间，另一个是矩阵的两个天然子空间。

 

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讲解了线性映射的概念及其特点，线性映射要求保持加法和数乘，可将其称为线性同构。举例说明了线性映射和非线性映射的区别，以及线性映射与线性变换的关系。视频强调了线性映射的重要性及其在信号与系统中的应用，同时提到了叠加原理和线性系统的定义。最后，视频解释了线性同构的概念，即抽象线性空间通过选定映射与标准线性空间形成一一对应并保持结构相同。

00:00 线性映射的定义和性质：本章介绍了线性映射的定义和性质。线性映射是指从一个向量空间到另一个向量空间的映射，满足保加法和保数乘的条件。保加法意味着映射后的向量仍然满足原来的加法关系，保数乘意味着映射后的向量仍然满足原来的数乘关系。这种映射可以用图像来表示，图像中的向量可以通过加法和数乘的操作得到相应的结果。
05:49 线性映射和线性变换的概念：这个章节主要介绍了线性映射和线性变换的概念。线性映射是指保持加法和数乘关系的映射，而线性变换是指自己到自己上的线性映射。另外，还介绍了线性系统的概念，即满足叠加原理的系统。最后，提到了线性映射与非线性映射的区别，需要通过具体的例子来理解。
11:35 线性映射的定义和特点：这个章节讲述了线性映射的定义和特点。通过举例说明，线性映射需要满足加法和乘法关系。如果加法关系在映射后不保持不变，则不是线性映射。同时，强调不应该使用交叉乘法或平方来定义线性映射。
17:22 线性同构的定义和性质：本章介绍了线性映射和线性变换的概念，并讨论了线性同构的定义和性质。线性同构是一种可逆的线性映射，保持加法和数乘，并且两个线性空间的结构完全相同。通过选定一个映射，抽象的线性空间可以与标准线性空间建立一一对应关系，并且作为线性空间的结构也是相同的。

 

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讲述了线性映射的概念和矩阵表示。线性映射是指一个集合中的元素与另一个集合中的元素一一对应的关系。如果一个线性映射保持线性空间中的加法和数乘法运算，那么它可以用矩阵来表示。任何抽象的线性映射都可以通过一个具体的矩阵来实现。这个视频介绍了如何从线性映射的定义出发，构造出一个对应的矩阵，并验证矩阵表示与抽象映射的等价性。

00:00 线性映射的概念和性质：本章讲述了线性映射的概念和性质。线性映射是指在一个定义空间中，任意元素都有一个与之对应的元素，并且每个元素只有一个对应元素。如果进一步要求是线性映射，那么它还需要保持加法和数乘法运算的线性性质。同时，介绍了线性映射和非线性映射的例子，以及线性同构的概念。最后，通过矩阵的例子说明了举证和映射是等同的关系。
04:56 线性映射和矩阵的关系：这个章节讲解了线性映射和矩阵的关系。通过给定线性映射，可以构造对应的矩阵。同时，对于给定的矩阵，也可以反过来构造对应的线性映射。通过标准基和单位矩阵的列向量组，可以确定向量在标准基下的坐标表示。这个知识点对于理解线性代数非常重要。
09:59 线性映射的表示方式：这个视频讲述了线性映射的概念以及如何通过矩阵来表示映射。作者解释了线性映射作用在抽象的元素上，如何通过具体的方式（矩阵右乘列向量）来实现映射，并验证了这个过程的可逆性。最后，作者通过计算展示了具体的映射结果与抽象映射一样。
15:00 ✍️线性映射的定义和表示：线性映射的定义包括保持加法和数乘法，加法满足结合律，可以推出三个元素的加法也能保持。线性映射还满足数乘法的项等于象的数乘法。最后可以将线性映射写成矩阵形式，并且任何一个线性映射都可以用矩阵来表示。这是矩阵分析中最重要的观念之一。
19:58 表示论和线性映射的矩阵表示：这个视频讲述了表示论和线性映射的矩阵表示。通过抽象的群，我们可以用具体的东西来表示它，比如矩阵。给定线性映射a，我们可以从中生成一个具体的矩阵。通过选取一组向量作为入口基向量，我们可以将a表示为一个矩阵。这个矩阵描述了a在另一个线性空间w中的坐标。

 

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主要讲解了线性映射和矩阵的关系。通过抽象的线性映射和具体的矩阵运算，可以实现任何线性映射。矩阵表示可以用来计算线性映射，无论是飞机旋转还是头发位置变化，都可以用矩阵来计算。通过矩阵乘法和坐标计算，可以得到线性映射的结果。同时，线性映射和矩阵之间的关系是可逆的，可以相互转换。视频还介绍了交换图和映射的关系。

00:00 矩阵表示的概念：这段视频讲述了矩阵表示的概念。通过将复数拼成矩阵，可以用矩阵来表示入口和出口的机向量，方便计算和展开。矩阵的低阶列是入口机向量在出口机下的坐标，第二行的宽度是n个出口机向量的相，展开时基向量的系数可以进行线性组合。
05:33 坐标分量的转换：这个章节介绍了坐标分量的概念以及如何表示。通过抽象的映射和矩阵相乘，可以实现坐标的转换。根据矩阵分块的乘法规则，入口机下的坐标对应着出口机下的坐标。最后提到还有一些事情需要进一步解释。
11:06 线性映射的计算方法：这个视频讲解了线性映射的概念和计算方法。线性映射是通过矩阵运算来表示的，无论是飞机旋转还是头发位置变化，都可以用矩阵来计算。线性映射的定义和运算是抽象的，但可以通过具体的矩阵运算来实现。证明线性映射的定理就是要验证映射后的坐标满足线性组合的关系。已知条件是v的坐标是x，可以通过线性组合来计算v。
16:39 线性映射的矩阵表示和坐标空间的概念：本章节讲述了线性映射的矩阵表示以及坐标空间的概念。通过将抽象线性空间的向量展开成具体的坐标向量，可以将线性空间与坐标空间建立起一一对应的关系。矩阵表示的映射可以在两个标准线性空间之间进行转换，从而构成一个映射的交换图。这种映射的关系在现代抽象数学中非常重要。

 

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讲解了线性映射的矩阵表示的概念。通过举例子，说明了矩阵表示的好处和意义。视频中还介绍了微分算子的矩阵表示和几何变换的矩阵表示。通过矩阵运算，可以统一地描述不同的问题，并进行计算和求解。这种方法具有统一性和规范性，适用于各种研究领域和实际问题。

00:00 线性映射的矩阵表示：这个视频中的章节讲述了线性映射的矩阵表示不是唯一的原因，即不同的人为选择的入口机和出口机会导致矩阵表示不同。这是理解线性映射的关键。接着介绍了微分算子的矩阵表示，它是将函数映射为函数的运算。微分算子是对函数空间到函数空间的映射，特别强调了它作用的是函数空间。最后，讲述了将讨论限制在次数至多为三次的实系数多项式子空间上，以便研究微分算子。
04:24 微分算子的矩阵表示：微分算子是一个具体的事物，需要用到导数和微分的概念来界定。通过矩阵来表示微分算子的作用方式，将其作用在入口空间上，展开到出口空间。展开的系数由四个函数组成，分别是常数函数、一次函数、二次函数和三次函数。这些函数可以理解为线性空间中的向量，而不仅仅是多项式或函数。
08:43 微分算子的意义和应用：本章节介绍了将微分算子表示成矩阵的意义和应用。通过举例计算1/2x^3+5x的微分，可以选择两种方法：利用具体线性空间和映射的特定含义，或者使用矩阵表示。前者需要根据具体的问题和背景来选择相应的方法，而后者则可以通过矩阵运算得到答案。这种方法虽然不具有统一性，但在某些情况下可以简化计算。
13:14 ➕矩阵运算和线性空间：本章节主要介绍了矩阵运算和线性空间的概念。通过实例演示了矩阵乘法和坐标转换的过程，以及如何根据已知坐标求解目标值。同时，对比了方法一和方法二，指出方法一是具体且针对特定对象的运算，而方法二是抽象的统一理论，适用于各种研究思维推理过程。最后，强调了在研究中使用矩阵运算的规范和统一性。
17:41 旋转变换的映射：旋转变换是几何变换中的一种映射，通过固定轴进行旋转，形成线性空间的模型。旋转会导致向量的变化，可以通过矩阵论来求解。选定固定轴的方向并使用右手系来度量旋转角度，以确保统一性。这对于研究飞机姿态和导航非常重要。

 

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讲解了几何学中的旋转和镜像反射的矩阵表示。通过选取合适的坐标系和基向量，可以将旋转和镜像反射表示为矩阵形式。矩阵的等价性是指存在可逆矩阵将一个矩阵转变为另一个矩阵。矩阵的等价性在解线性方程组中起到简化计算的作用。这些概念对于理解几何变换和矩阵运算非常重要。

00:00 矩阵表示和旋转运动：这个章节讲解了几何学中的矩阵表示和旋转运动。通过选取适当的基向量，将三维几何空间的出口和入口选为相同的空间，并以旋转轴的正向定义第三个向量。然后，通过填空的方式，得到旋转矩阵的表示。最后，以二维图形进行了说明。
04:38 旋转矩阵和坐标变换矩阵：视频中的章节介绍了三维空间中的旋转矩阵和坐标变换矩阵的概念，以及如何填写和计算这些矩阵。作者解释了如何确定旋转角度和坐标轴，并提到了横坐标是cos theta，纵坐标是sin theta的形式。作者强调了填写矩阵时的细节和注意事项，并区分了旋转矩阵和坐标变换矩阵的概念。
09:19 旋转和镜面反射的重要性：这个章节讲述了几何空间中的旋转和镜面反射的重要性，以及它们作为基本粒子组合出其他有用的几何变换。同时还提到了验证旋转变换和镜面反射是线性变换的方法，以及镜面反射的方向和法向量的选择。最后，提到了镜面反射在物理规律中的应用和重要性。
14:00 镜面反射和线性变换：杨振宁和李政道的诺贝尔奖告诉物理学家，在研究微观世界的基本粒子时，镜面的正方向需指定，否则会导致混乱。镜面反射需要填入一个三行三列的矩阵，镜面方向可以用右手选取x和y轴。贴在镜面上的s1和s2不动，它们的像就是它们自己。线性映射的举例是用矩阵研究物体的旋转变换，旋转和反射的组合是其他变换的基础。
19:23 线性空间、线性映射和矩阵等价：本章介绍了线性空间、线性映射和矩阵等价的概念。线性空间是描述客观世界需求的工具，线性映射可以用矩阵表示。两个矩阵等价指存在不同阶数的可逆矩阵，将两个矩阵通过线性关系连接起来。矩阵等价的概念在解线性方程组时起到简化的作用。

 

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讲解了线性映射的矩阵表示和矩阵的等价与相似。通过矩阵的乘法和可逆矩阵的作用，可以用统一的方式计算线性映射。矩阵的等价可以通过初等行列变换来定义，而初等变换可以用可逆矩阵的乘法表示。从几何的角度来看，矩阵的等价表示线性映射在不同基下的矩阵表示。选择合适的基可以使矩阵表示更简单。

00:00 线性映射的矩阵表示：本章介绍了线性映射的矩阵表示的重要性和作用。线性映射通过将入口空间的向量组映射到出口空间，并可以用出口空间的坐标表示。矩阵表示提供了一种统一的方式来描述各种线性映射，无论是几何变换、微积分求导数还是信号与系统。接下来将研究矩阵的等价与相似的概念。
04:29 矩阵的等价概念：这个章节介绍了矩阵的等价概念及其动机。矩阵a和b等价，意味着存在可逆矩阵t和s，使得ta=b，其中t是m阶矩阵，s是n阶矩阵。引入等价的动机是为了刻画矩阵的初等行列变换，即通过一系列的初等行变换和初等列变换，将一个矩阵转变为另一个矩阵。初等行变换和初等列变换的效果可以等价于左乘和右乘可逆矩阵，因此等价的定义是重要的。
09:01 ✏️刻画和初等行列变化：这个章节主要讲述了刻画和初等行列变化的概念以及它们的等价性。通过引入矩阵等价的观念，可以将刻画和初等行列变化转化为同一个概念。可逆矩阵的存在性和逆矩阵的概念也被提及。另外，还从线性映射和几何的角度解释了等价性的概念。最后，强调了具体和抽象的相对性，通过具体的认识来达到抽象的目的。
13:21 矩阵和线性映射的概念：这个章节主要讲解了矩阵和线性映射的概念。通过将矩阵理解为线性映射，可以将其视为从n维空间到mv空间的映射。同时，介绍了标准线性空间和满值矩阵的概念，并解释了满字矩阵的几何意义。进一步讨论了线性映射在入口机和出口机下的矩阵表示，以及线性映射的等价性。最后，提到了线性映射在标准入口机和标准出口机下的矩阵表示等于自身的特例。
17:50 线性映射和矩阵表示的关系：该章节讨论了线性映射和矩阵表示之间的关系。通过选择合适的参数，可以相互转换。讲解了人为选择基地入口径和出口径的概念，以及选取标准机的重要性。还介绍了选择特定的记忆机制，使得矩阵表示尽可能简单的方法。最后，提到了通过初等行列变换将任何矩阵化简的证明。

 

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介绍了线性映射和矩阵相似的概念。通过选择适当的基底，可以将线性映射的矩阵表示化简为最简形式。最简形式的矩阵具有尽可能多的零元素，使得映射更容易操作。矩阵相似的概念表示通过可逆矩阵的变换，将一个矩阵转化为与其具有相同线性映射的最简形式。这些概念在线性代数中有重要的应用。

00:00 线性映射的基底和子空间：这个视频讲述了线性映射中的基底和子空间的概念。通过选择适当的基底，可以将映射转化为矩阵形式，并通过线性组合来表示。通过观察矩阵的列向量组，可以得到基底的特点。最后，讲解了线性映射的效果和解的概念。
06:00 新的基底和坐标计算：这个章节介绍了在新的基地和机理下，通过矩阵表示和坐标计算来进行线性映射，以及新旧坐标之间的关系。通过使用新的坐标，映射关系可以完全解耦，简化计算过程。
11:59 耦合和解耦的概念：这个视频介绍了耦合和解耦的概念。耦合指的是输入信号与输出信号之间的相互影响，而解耦则是通过重新选择输入和输出端口，使得每个输入只影响对应的输出，实现系统的解耦。这种解耦只适用于静态的线性系统，对于动态系统是否能解耦则是一个重要的研究课题。另外，视频还讲解了矩阵的相似概念，通过选择适当的矩阵可以将一个矩阵化简为最简形式。
18:05 矩阵相似和线性变换的几何意义：这一章讲述了矩阵相似和线性变换的几何意义。矩阵相似是指线性变换在不同基下的矩阵表示相同。线性变换可以理解为从一个空间映射到另一个空间，当两个空间相同时，称为变换。矩阵表示了线性变换在标准基下的情况。最典型的相似问题是通过选择适当的矩阵可以最简单地表示给定矩阵，即使其有尽可能多的零元素。这个问题在上个世纪初被伟大的数学家解决。

 

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讲解了矩阵分块乘法和不变子空间的概念。讲者强调了学生需要仔细听讲和理解细节，并建议学生回去整理笔记。视频还介绍了相似三角化和不变子空间的关系，并提到了在解决问题时引入不变子空间的重要性。最后，视频讲解了不变子空间的定义和几个例子。通过观看视频，可以更好地理解矩阵和线性映射的概念。

00:00 矩阵分块乘法和线性映射：这个章节讲解了矩阵分块乘法的协调性，以及线性映射的矩阵表示的观点。通过分割矩阵的行列，可以实现分块乘法，但需要注意协调性。此外，强调了理解矩阵分块乘法的重要性，以及线性映射的概念。
04:44 线性映射和不变子空间：这个章节的重点是介绍了线性映射和变换的概念，以及不变子空间的定义。讲述了如何根据线性映射的矩阵表示来解决问题，并引入了方正、方形和线性变换等概念。强调了理解前面的课程内容对于理解子空间的概念非常重要。最后解释了不变子空间的概念，即在线性映射下保持不变的子空间。
09:30 不变子空间和古院子空间：这个章节讲述了不变子空间的概念和引入古院子空间的原因。通过举例说明，包括只含磷元素的非空子集和零，以及全空间自身，都是不变子空间。同时，介绍了正方形矩阵的copa和image a的概念。最后提到了一个重要的定理，需要通过理解remark和example来理解。
14:15 矩阵相似变形和相似三角化：这个章节主要讲述了矩阵相似变形中的不变子空间以及相似三角化的概念。通过研究矩阵的分块特性，我们可以得到一个具有三角形特点的矩阵。这个概念在现代数学中是非常重要的，尤其是在研究无限维函数空间上的算子时。此外，还介绍了矩阵的列分割和行分割的规律。
19:00 矩阵分割和矩阵的像：这个视频讲解了矩阵分割和矩阵的像的概念。通过分割矩阵并与另一个矩阵相乘，我们需要注意行列数的对应关系。矩阵的像是指矩阵的列向量组所张成的子空间，它的维度与原矩阵的列数相等。这个子空间是线性无关的，可以用基向量来表示。

 

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讲述了矩阵的分块矩阵乘法和相似对角化的概念。通过分块矩阵乘法可以得到矩阵的不变子空间，而相似对角化则是通过特征向量的线性组合来实现的。特征值与特征向量的概念是一维不变子空间的表达方式，矩阵相似对角化的充要条件是存在n个线性无关的特征向量。这些概念和定理为矩阵的分析和计算提供了重要工具。

00:00 ⚙️分块矩阵的简单应用：这个视频章节讲解了分块矩阵的简单应用，通过取出矩阵的不变子空间来实现矩阵乘法。同时提到了a作用在每一个p阶上都可以由前n个向量的线性组合给出，并证明了这个线性组合是不变子空间。最后，讲解了根据第二个式子得到的p12等于零。
05:10 矩阵相似三角化：这个章节讲述了矩阵相似三角化的概念和方法。可以通过找到矩阵的不变子空间，并基于不变子空间来构造上三角矩阵，从而实现矩阵相似三角化。具体的方法是给定一个矩阵a和一个不变子空间，通过找到满足条件的p和b，将矩阵a转化为上三角形矩阵。这个过程需要利用定理和线性无关的列向量来寻找p和b，从而得到所需的上三角矩阵。
10:19 矩阵的扩充和可逆性：这个视频讲解了在解答问题时如何扩充矩阵，以及如何通过将矩阵拼接来定义一个可逆矩阵。作者提到了将矩阵记为p1和p2，并将它们拼接为一个可逆矩阵p。作者还介绍了一个新的视角，即线性映射的矩阵表示，以及如何利用不变子空间来进行相似三角化。作者还提出了一个问题，即如何找到一个满足条件的矩阵p2。这个问题被留作作业。
15:24 相似对角化条件和一维不变子空间：本章节讲解了矩阵的相似对角化条件和一维不变子空间的概念。相似对角化是指将矩阵转化为对角矩阵的过程，而一维不变子空间则是指矩阵中每个列向量所形成的子空间。相似对角化的条件就是矩阵的不变子空间，即每个列向量所造成的子空间都是不变的。通过特征值和特征向量的引入，我们可以来定义一维不变子空间。
20:36 特征值与特征向量的概念：这个视频讲解了特征值与特征向量的概念。特征值是矩阵a的一个数值，特征向量是与特征值相关联的向量。特征向量构成了一个一维不变子空间，而特征值是矩阵作用在该子空间上的效果。矩阵a可以相似对角化的充要条件是它有n个线性无关的特征向量。

 

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介绍了线性空间和线性映射的概念，以及它们之间的关系。线性空间是指可以进行线性组合的向量的集合，线性映射是将一个线性空间映射到另一个线性空间的函数。视频还详细讲解了向量的坐标表示和线性映射的矩阵表示，以及矩阵相似和矩阵等价的概念。最后，视频提到了矩阵的若当标准型和多项式矩阵的概念，并介绍了它们在数学中的重要性。

00:00 线性空间和线性映射概念：本章节介绍了线性空间和线性映射的概念。线性空间中的向量可以通过线性组合展开，并且展开的系数称为向量的坐标。当线性空间和坐标固定时，它们构成了一个同构映射。同构将几何对象转化为代数对象。公式为抽象向量等于矩阵乘以坐标。此外，还介绍了线性映射的概念，通过矩阵表示线性映射可以将抽象的计算问题转化为具体的坐标计算。线性空间和线性映射是研究问题的观点和方法论。
04:24 线性空间与线性映射观点：本章节讲述了线性空间与线性映射的观点，以及矩阵在不同机理下的表示和映射关系。通过研究矩阵的列向量组形成基的观点，可以理解矩阵等价的几何意义。同时，提到了矩阵的可逆性和满制的概念，以及用新的坐标计算映射关系时的耦合和解耦情况。最后指出，如果不理解线性空间与线性映射的理论，也可以直接使用矩阵进行计算。
08:46 矩阵相似对角化几何思想：这段视频讲解了矩阵相似对角化的几何思想。矩阵的相似对角化是指将一个矩阵用一个对角矩阵表示，当且仅当它有n个线性无关的特征向量或特征向量构成的基底。通过矩阵相似变换，可以将输入输出进行解耦，使得矩阵运算更加简单。要理解相似对角化，需要把它写成ap=pa的形式，将矩阵视为线性映射作用在基向量上的矩阵表示。相似对角化的关键是选择合适的观点和视角来研究问题。矩阵分块乘法是解决相似对角化问题的一个技巧。
13:12 矩阵相似和对角化条件：这个视频章节讲解了矩阵相似和对角化的充要条件，即一个矩阵能够相似对角化的条件是它有n个线性无关的特征向量。如果矩阵不满足这个条件，则它可能是亏损的，无法化为对角线形式。在一般情况下，可以使用若当标准型来将矩阵进行快对角化。
17:37 多项式矩阵和若当标准型：这个章节主要介绍了多项式矩阵和南门矩阵的概念，以及若当标准型的理论。多项式矩阵是以多项式为元素的矩阵，而南门矩阵是一个历史传统的称呼。若当标准型是指乔丹标准型，是一个重要的数学理论。这些概念和理论在数学中有着重要的应用。

 

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介绍了南大矩阵（多项式矩阵）的概念和性质。南大矩阵是一个集合，也是一个线性空间。它可以表示为一个m行n列的矩阵，其中元素是多项式。视频还介绍了南大矩阵的秩和单位模（又称为单位膜或妖魔症）的概念。单位模是一种特殊的多项式矩阵，其左乘和右乘的结果都是单位矩阵。

00:00 南大矩阵简介：南大矩阵是一个集合，是一个线性空间。它可以通过集合的乘法来定义，例如m乘n可以排成m行n列的矩阵。矩阵中的元素是从多项式中取得，可以用符号a表示。南大矩阵可以简化为一个m行n列的矩阵，其中每个元素都是一个多项式。南大矩阵的例子是一个2x2的兰姆达矩阵。
05:45 多项式矩阵的概念：本章介绍了多项式矩阵的概念和观点。多项式矩阵可以看作是一个映射，根据给定的自变量值，可以计算出一个矩阵。通过将多项式矩阵写成以矩阵为系数的多项式的形式，可以更好地理解和计算。同时，还介绍了非零子式的最大阶数的概念。
11:28 指示矩阵和行列式：这个视频章节讲解了如何构成一个指示矩阵，其中每个元素都是多项式，并且可以通过行列式来计算。行列式的定义只涉及加减乘三种运算，不涉及除法。只要矩阵的元素能进行加减乘操作，就可以定义行列式。子行列式的结果仍然是一个多项式。行列式的计算涉及元素的选择和排列，结果是一个非零多项式。矩阵的秩是指作为多项式矩阵时的秩，通过给兰姆达赋不同的值可以得到不同的数字矩阵，其秩会随之变化。
17:14 rank和单位模的概念：这个章节讲解了多项式矩阵的rank和单位模的概念。多项式矩阵的rank在复数域上是非零多项式的零点个数，而在其他域上可能不一致。单位模是指一个正方形的栏杆矩阵和其逆矩阵都是多项式矩阵。单位模不仅仅是可逆矩阵，还要求逆矩阵是多项式矩阵，这不是废话，因为不是所有行列式不等于零的矩阵都能通过伴随矩阵求逆。

 

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讲述了多项式矩阵的特点和性质，以及与数据上的矩阵的区别。多项式矩阵在多项式运算系统中有逆矩阵，但除法运算不适用于多项式矩阵。视频还介绍了多项式矩阵的初等行变换和单位矩阵的定义。最后强调了多项式矩阵的重要性和研究的价值。

00:00 矩阵和代数余子式的概念：视频讲解了关于矩阵和代数余子式的概念。通过将矩阵元素替换为代数余子式并进行转置，可以得到代数余子矩阵。代数余子矩阵是一个多项式矩阵，可以用来定义行列式和逆矩阵。与数据矩阵不同，多项式矩阵的逆矩阵可能是一个有理分式矩阵。多项式矩阵的研究是因为其在多项式运算领域中有特殊性质。这个概念的理解对于数学学习和研究有重要意义。
05:11 ⚙️多项式运算系统的问题：这个视频章节介绍了多项式运算系统的一些问题，包括不能对任意两个多项式进行除法运算，正多项式矩阵与域上的矩阵的区别，以及矩阵的逆运算。讲解者通过一个例子说明了在多项式运算范围内不存在逆矩阵，但在有理分式领域内存在逆矩阵的情况。最后提到了一个定理，要求一个n阶正方形矩阵的行列式为非零常值多项式，并且存在逆矩阵。
10:23 矩阵的定理和推理：这个章节讲述了关于矩阵的定理和推理。通过证明乘法的行列式等于行列式的乘法，可以得出多项式矩阵可以用于解决问题。通过比较两个多项式的次数，可以推理出这些多项式必须是非零常数。
15:40 南达矩阵的初等行变换：这个章节主要讲解了南达矩阵的初等行变换，包括将两行互换、将某行乘以非零常数、将某行乘以一个多项式加到另一行。但需要注意的是，在多项式运算领域中，将某行乘以一个多项式加到另一行是不可逆的。
20:50 多项式矩阵的初等行变换和逆运算：这个视频讲述了多项式矩阵的初等行变换和逆运算。初等行变换可以用矩阵来描述，包括互换行、某行乘以非零常数和某行乘以非零多项式加到另一行。其中，第一种初等变换是互换行，第二种是某行乘以非零常数，第三种是某行乘以非零多项式加到另一行。在多项式矩阵中，第一种和第三种初等变换是可逆的，但第二种初等变换是不可逆的。逆运算涉及到多项式的除法，而除以一个多项式的运算在多项式运算系统中是不允许的。

 

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探讨了多项式矩阵的初等变换和史密斯标准型。通过初等行列变换，可以将一个多项式矩阵化简成史密斯标准型，其中左上角为对角块，其他位置为零块。史密斯标准型中的非零多项式按照整除关系排列。通过归纳和分类讨论，可以证明任何一个多项式矩阵都可以经过左右初等变换化为史密斯标准型。

00:00 初等变换和史密斯标准型：初等变换是指通过乘以相应的初等矩阵来改变多项式矩阵的形式。在初等行列变换下，可以将多项式矩阵化简为史密斯标准型，即简化程度越高越好。史密斯标准形的概念依赖于等价矩阵的概念，即通过一系列的初等行列变换将一个矩阵转化为另一个矩阵。为了研究等价的问题，需要引入相应的定理或原理。
06:03 兰姆达矩阵等价和降次：本章介绍了兰姆达矩阵等价的概念，并通过初等变换降次的方法解决了一个问题。如果两个兰姆达矩阵等价，那么它们至少有一个元素不能被整除。通过对不能被整除的元素所在位置的分类讨论，可以证明可以通过一系列的左右变换将矩阵降次，使得左上角的元素次数比原来低。
11:43 ➗多项式的带余除法和整除判断：这个章节主要讲解了多项式的带余除法以及如何判断一个多项式能否整除另一个多项式。通过行变换，可以将一个不能被整除的多项式转化为可以被整除的形式。同时，还介绍了三种情况：一个多项式不能整除、全部能整除以及部分能整除的情况，并给出了相应的分类方法。
17:32 初等行变换和史密斯标准型：这个章节讲解了如何利用初等行变换将矩阵化为史密斯标准型。通过加减倍数使得矩阵中的非零元素变为零，最终得到一个对角块和零块组成的标准形式。其中，对角线上的非零多项式满足互相整除的关系。这个过程可以通过归纳法证明，并且可以一直降维直至无法再降维为止。

 

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讲解了多项式矩阵的概念和性质，以及与数的区别。多项式矩阵可以进行加减乘运算，但除法不一定成立。介绍了多项式的次数、不可约因式、最大公因式和最小公倍式等概念。同时介绍了史密斯标准型和单位模式的概念，并强调了它们的重要性。辗转相除法被用来证明最大公因式的存在，并给出了具体的计算步骤。

00:00 多项式矩阵与数的区别：这个视频章节讲解了多项式矩阵与数的区别，多项式矩阵在加法、减法、乘法上都有定义，但除法不总是可行。引入了rank和单位模式的概念，单位模式指的是在多项式矩阵领域中有逆矩阵的情况。另外，初等变换与原始矩阵的区别在于不能将某一行乘以一个多项式，因为这种操作在多项式领域中是不可逆的。最后，介绍了史密斯标准型，即通过多项式矩阵的初等变换将其转化为最简形式。
04:27 多项式的次数和大余数除法：本章节主要介绍了多项式的次数和零多项式的概念，以及大余数除法的原理。零多项式没有次数，而非零多项式的次数是指最高次项的次数。大余数除法是指将一个多项式除以另一个多项式，如果有余数，则余数的次数严格低于除数的次数。此外，对于给定的被除数和除数，商和余数是唯一确定的。
08:56 质因式分解和数域上的应用：这个视频的章节讲解了质因式分解的概念和在不同数域上的应用。质因式是不能再分解因式的多项式，而在实数域和复数域上的质因式是不同的。在实数域上，多项式只有两种不可约因式：一次多项式和二次多项式当判别式小于零时。而在复数域上，多项式可以继续分解。
13:25 代数基本定理和最高公因数：这个视频介绍了代数基本定理，即复数域上的n次多项式一定有n个复数根，可以分解为一次因式的乘积。高斯是证明这个定理的数学家之一。现有十几种证明方法。另外，介绍了如何证明实数域上的多项式不可约定，以及最高公因数和最小公倍数的概念。最后提到了辗转相除法这个古老的数学定理。
17:52 ➗辗转相除法求最大公因数：这个视频介绍了辗转相除法，这是一种求两个整数最大公因数的方法。首先将较小的整数作为除数，较大的整数作为被除数，计算商和余数。然后将上次的余数作为除数，这次的余数作为被除数，再次计算商和余数。重复这个过程直到余数为零，最后的除数就是这两个整数的最大公因数。这个方法在欧几里得几何原本中有记载，被称为欧几里得算法。

 

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讲述了一个关于多项式矩阵的定理，即任何一个m行n列的多项式矩阵都可以通过左右初等变换变成一个特定的形式，其中对角线上的元素一定是一次整除的。视频还介绍了行列式因子的概念和如何求取最高公因式。这个定理在数学中具有重要意义。

00:00 ✏️多项式矩阵的初等变换：这个章节讲的是多项式矩阵的初等变换，任何一个m行n列的多项式矩阵都可以通过左右初等变换变成一个分块矩阵，其中第一个块是对角线，其他三个块都是零块。对角线上的块一定是一次整除的，可以通过引领和降次来证明。降次的过程是有限的，最终会停止在不能降次的情况，即整除所有其他元素。所以可以通过一系列的初等行列变换将多项式矩阵转化成简化形式。
04:27 初等列变换将矩阵化为阶梯形式：视频讲解了如何通过初等列变换将矩阵化为阶梯形式。首先，如果矩阵的第一行除了第一个元素外都为零，且第一个元素整除其他元素，则可以将第一行其他元素变为零。同样的道理，可以将第一列其他元素变为零。通过这种变换，保持了剩下的元素都能被第一个元素整除。接着，讲解者指出，只要矩阵是非零矩阵，就可以通过一系列的初等变换将其化为阶梯形式。最后，讲解者提到如果右下角是一个零矩阵，则证明过程结束。否则，可以继续进行类似的变换。
08:59 初等行列变换中右下角纸块的特性：本章节介绍了初等行列变换的过程中，右下角的纸块保持被a整除的特性，并且通过乘以非零常数或者将一行乘以倍数加到另一行的操作，仍然保持这一特性。接着讨论了唯一性问题，即最终结果的形状可能因人为因素而不同，但结果应该是一样的。为了排除不值得一提的非唯一性，约定d的系数都是首项系数为一的多项式。
13:31 矩阵和行列式的概念：这段视频讲解了数学中的矩阵和行列式的概念。通过定义k阶子式和行列式因子，介绍了如何解决矩阵唯一性的问题。讲解者提到了子行列式的数量非常大，并且每个子行列式都是一个多项式。最后，行列式因子被定义为这些多项式的最高公因式。
18:00 行列式因子的求解方法：这段视频讲解了行列式因子的求解方法。通过质因式分解和指数求解的方法，可以求得多项式的最高功率和指因式。根据每个子多项式的次数最低因式，可以得到最高公因式。最后，作者提到了兰姆达矩阵的k阶行列式因子，说明了这个概念的重要性。

 

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介绍了行列式因子和行列式的关系，以及行列式的不变性。行列式因子是用来研究唯一性问题和寻找不变量的工具。视频还讲解了初等变换不改变行列式因子的定理以及实质标准型的相关概念。行列式因子被称为不变因子，因为它们不依赖于人为因素和初等变换。视频还提到了行列式的秩和行列式因子的关系，以及小写的d和大写的D之间的联系。

00:00 因子引入与唯一性：行列式因子的引入是为了研究唯一性和寻找不变量的手段。通过初等变换，可以得到变换后的矩阵，但其k阶行列式因子仍保持不变。虽然矩阵的其他元素可能发生改变，但最高公因式和最高公因式集合仍保持一致。通过讨论不同类型的初等变换，可以证明最高公因式的一致性。
05:06 初等变换及行列式：本章讲解了行列式的初等变换。首先指出，如果将行列式的首项系数归为1，交换两行或将某一行乘以非零常数，行列式的集合仍然相同。因此，只需讨论第三种初等变换，即将第i行乘以一个常数hm，然后加到第j行上。对于任意取的k阶子式，根据是否含有变化的第j行或第i行，分成三种情况讨论。总之，无论哪种情况，变换后的行列式中的k阶子式在原行列式中都有出现。
10:17 两种情况的讨论：这个章节主要讨论了行列式中两种情况：一种是含有第二行但不含第i行的情况，另一种是含有第i行但不含第二行的情况。通过画图和列举例子，可以更好地理解这两种情况。同时，介绍了行列式具有的分裂性质，即行列式的某一行可以分成两个行，而整个行列式也可以分成两个行列式相加。最后，讨论了行列式中的一个新行列式w，其中d阶行被第二行的倍数所替换。
15:22 ⚙️k阶子式与行列式的关系：本章节讲解了矩阵中的k阶子式与行列式的关系，以及矩阵的公因式和最高公因式的概念。通过初等变换，可以得到矩阵的不变因子，进而研究矩阵的实质标准型。
21:15 ✅性质和不变因子的证明：这个视频讲述了关于矩阵的性质和不变因子的证明。它解释了矩阵的秩和对角块的大小是唯一的，并且介绍了行列式因子的定义和联系。证明了通过初等变换得到的结果是唯一的，并且称其为不变因子。

 

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介绍了一个重要的定理，即史密斯规范的唯一性和计算方法。它通过行列式因子求解不变因子，从而提供了史密斯规范的计算方法。视频中给出了两种方法来求解史密斯规范，其中一种是通过初等变换来降次，另一种是通过计算行列式因子来求解。这个定理在抽象代数中非常重要。

00:00 ✅证明方法：这个视频中的一章节讲解了一个证明方法。通过对多项式矩阵的计算，证明了如果左边的r阶子式不为零，那么右边也必须有r阶的行列式因子。证明过程中使用了数学归纳法，并且指出了r必须等于a的拉姆达。
04:24 最高公因式和行列式因子计算：该章节主要讲述了多项式的最高公因式和行列式因子的计算方法。首先介绍了任何一个多项式都可以整除零多项式的概念，即加入一个零元素或拿出一个零元素对最高公因式没有影响。然后通过计算二阶行列式因子的例子来说明左边和右边的行列式因子是一样的。最后，讲解了取出二阶子式时需要满足的条件，包括取行和取列的限制以及对角块上的子式。最后给出了计算右边非零子式的数量公式。
08:54 组合和多项式概念：这个视频章节主要介绍了组合和多项式的相关概念。通过列举组合、讨论多项式的最高公因式以及反解等方法，引出了一个重要的定理。这个定理在抽象代数领域中非常重要。最后，提到了两种方法来求解史密斯形的问题。
13:19 计算史密斯行的方法：这个章节讲解了一种计算史密斯行的方法，通过多项式和行列式因子求不变因子，从而得到史密斯行。使用左右初等变换来处理变化，找到次数最低的项，将其作为除数，通过除法来降次。最后，通过将第三列乘以负的兰姆达加二加到第一列，得到余数。这个方法可以简化计算过程。
17:46 ➗求解行列式的两种方法：这个视频中讲解了两种方法来求解行列式的值。方法一是利用兰姆达乘以兰姆达加一的公式来计算，方法二是通过求解所有行列式因子的最高公因式来得到结果。作者强调了对于特定情况来说，方法二更简单有效。对于一般情况，需要列举所有k阶子式来计算，时间较长。作者提醒我们，在面对问题时要根据具体情况来选择最简单的方法。

 

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讲解了多项式矩阵的概念和特性。多项式矩阵是以多项式为元素的矩阵，不同于普通的数值矩阵。它可以进行加减乘法，但除法有条件限制。视频介绍了单位魔症、初等变换和史密斯标准型的概念，并证明了单位魔症可以写成初等矩阵的乘积。最后，视频提到了多项式矩阵的应用，特别是在研究数据上的矩阵相似性和控制问题中的应用。

00:00 多项式矩阵简介：多项式矩阵是以多项式为元素的矩阵，可以进行加减乘法，但不能无条件地进行除法。单位魔症是一个多项式矩阵，要求其逆矩阵也是多项式矩阵。初等变换有三种，但只能乘以非零常数，不能乘以多项式。多项式矩阵可以经过左右初等变换化简为史密斯标准型，其中的多项式按整除关系排列。多项式矩阵的秩称为不变因子，通过行列式因子可以证明其不变性。目前已取得了多项式矩阵的研究成果。
04:53 单位矩阵和初等矩阵：这个章节介绍了单位矩阵和初等矩阵的概念，以及它们之间的关系。通过初等变换，可以将单位矩阵转化为具有相同形式的矩阵。证明单位矩阵的行列式等于非零常数，并推导出单位矩阵的行列式因子为其本身。最后讲解了计算行列式因子的方法。
09:46 ⚙️n阶行列式和初等矩阵：这个视频章节讲述了n阶行列式的因子，通过递推公式可以计算出n阶行列式的值。视频中还提到了多项式相乘的次数相加原理，以及初等变换和初等矩阵的关系，初等行变换相当于左乘一个初等矩阵，初等列变换相当于右乘一个初等矩阵。最后讲到了初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵。
14:37 矩阵的组成和顺序：这个章节介绍了矩阵的组成和顺序，以及单位矩阵和初等矩阵的关系。通过初等矩阵的乘积，可以将单位矩阵表示为有限个初等矩阵的乘积。作者指出，有些书在证明之前就默认了初等矩阵的乘积等价于单位矩阵，实际上这需要经过一番推理才能得到。接下来，作者将进入下一个主题，讨论多项式矩阵的研究目的和应用。
19:28 多项式矩阵的概念和作用：本章节介绍了多项式矩阵的概念和作用，强调了多项式矩阵与数域上的矩阵的关系，以及多项式矩阵的特征多项式。同时，讲解了矩阵相似的概念，指出相似意味着存在一个可逆矩阵使得两个矩阵的差是相似的。通过引入这些概念，可以更好地理解多项式矩阵的几何本质。

 

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讲述了矩阵的相似性和多项式矩阵的乘法和除法。通过初等变换，可以将一个矩阵转化为另一个矩阵。多项式矩阵相乘的次数规律不同于普通多项式相乘，需要满足一定条件。带余数除法定理成立的前提是除数的最高次数系数矩阵是可逆矩阵。这些概念和定理在抽象数学中有重要应用。

00:00 矩阵相似与初等变换：本章介绍了矩阵相似的概念和初等变换的关系，初等行列变换可以看作是初等矩阵相乘的结果。通过初等变换可以将单位矩阵转化为有限个初等矩阵的乘积，从而得到一个等价的矩阵。判断两个矩阵是否相似可以通过观察是否能经过一系列的初等行列变换将一个矩阵转化为另一个矩阵。相似变换的结果受到约束，左边的初等行变换必须与右边的初等列变换配套。相似变换的预见性较弱，而等价变换无此约束，可以随意变换。此定理将矩阵相似的问题转化为多项式矩阵领域的等价问题，简化了问题的复杂度。
05:47 多项式矩阵次数与特点：这个章节主要讲述了多项式矩阵的次数和特点。多项式矩阵是以矩阵为系数的多项式，最高次的系数不能为零。如果矩阵是零矩阵，则多项式矩阵的次数无意义或者是无穷次。在矩阵多项式相乘的情况下，两个多项式矩阵的次数相加不再成立，而是有条件的。
11:30 ✖️多项式矩阵相乘次数规律：这个视频的章节讲解了多项式矩阵相乘的次数规律。在满足一定条件下，两个多项式矩阵相乘的次数是可以相加的，但乘积可能降次或变成零次多项式。需要注意的是，这个规律只适用于满足可逆矩阵条件的情况。另外，视频还提到了多项式矩阵的除法问题。
18:23 ➗多项式矩阵带余数除法：本章节讲解了多项式矩阵的带余数除法。被除数和除数分别是多项式矩阵b和a，他们的次数分别为m和n。左除和右除的概念不同，左除要求除数放在左边，而右除则相反。带余数除法的原理是除不尽的情况下，余数的次数比除数低，且余数要比除数小。带余数除法定理的条件是除数的最高次的系数矩阵可逆。具体的计算步骤也被详细介绍了。

 

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讲解了可逆矩阵和除法的概念，通过推导和证明的方式解释了它们的性质和关系。视频中提到了兰姆达、矩阵乘法、单位矩阵等概念，并通过数学推理和引理讲解了相关的数学原理。最终的目标是证明余数矩阵是可逆的。视频内容较为抽象，需要对线性代数有一定的基础理解。

00:00 可逆矩阵的上升过程：本章节讲解了可逆矩阵的上升过程，通过乘以不同的矩阵进行计算。同时强调了矩阵计算的顺序不能颠倒，否则会出错。通过不断进行矩阵相乘，最终可以得到一次拉一次的结果。同时还介绍了存在性和唯一性的概念，并提到使用反证法证明微信的存在性。
04:32 ➗数学推理中的代数学问题：这个章节讲述了数学推理中的代数学问题。作者提到了自己在大学时期对这个领域的困惑，以及通过练习和研究书籍逐渐理解了推理的环境和关键点。章节中介绍了多项式领域的问题和其复杂性，以及如何证明一个问题的充要条件。作者强调了证明的重要性和思维方式，指出要领会证明的含义，明确已知条件和要求，才能解决问题。
09:04 多项式矩阵次数的降低：这个章节讲述了如何通过除法将多项式矩阵的次数降低，并找到可逆矩阵作为除数。通过引理二，我们可以找到最高次系数为可逆矩阵的除数。然后，我们可以得到商和余数，其中余数的次数严格小于除数的次数。最后，作者将余数定义为常数矩阵r，并将其记为r。总之，r可以是零矩阵或非零常数矩阵。
13:37 带鱼除法的表达式推导：这个视频中讲解了带鱼除法的表达式推导过程。通过对方程中的公因式提取和移项，得到了a减b的左公因式。然后，通过比较系数，得到了b乘以r等于s的结果。最后，还需要进一步证明阿尔是一个可逆矩阵。
18:07 可逆矩阵的概念和性质：这个章节讲解了可逆矩阵的概念和性质。可逆矩阵的逆矩阵也是多项式矩阵，可以被三倍输出。通过利用可逆矩阵的性质，可以证明余数是可逆矩阵。进一步，通过乘法运算，可以推导出等式成立。

 

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讲述了线性空间、线性映射和矩阵的基本概念，以及内积、长度、夹角和投影的几何应用。视频还介绍了标准正交基、正规矩阵和奇异值分解等重要概念。最后，视频讨论了矩阵的范数和矩阵微积分，特别是e的t的计算方法在控制理论中的应用。这些内容对于理解线性代数和控制理论非常重要。

00:00 广义积分概念与性质：这个章节讲解了广义积分的概念和性质。广义积分存在且收敛的条件是，函数在零到正无穷的区间上乘以一个收敛的函数，并且积分的结果是收敛的。通过矩阵积分的方法可以解决一些问题，其中利用了导数规则和转置的性质。
04:54 矩阵值函数的积分性质：这个章节讲解了矩阵值函数的积分性质。通过取积分，可以得到左边等于右边的结果。因为已知矩阵a是稳定的，所以积分一定是收敛的。通过求导再积分，可以得到原函数。左边等于无穷时，等于右边的负指数函数的积分。当t趋于无穷时，负指数函数趋于零。所以左边可以化简为x减去零矩阵。此外，a和a的转置是可交换的。最后再次强调，这个积分一定是收敛的。
09:52 线性空间与线性映射：这个章节主要讲述了线性空间与线性映射的定义以及相关例子，包括标准向量空间、几何空间和函数空间。还介绍了抽象线性相关性的理论，包括线性方程组的解构性维数和向量组的线性相关性与线性无关性。这些内容为后续的讨论奠定了基础。
14:48 线性空间的维数与线性映射：这个章节主要介绍了线性空间的维数概念和子空间的交与并运算，以及线性映射与线性变换的核心概念。重点是线性映射的矩阵表示，通过选择入口空间和出口空间的基，可以用坐标计算线性映射。还讲述了矩阵的等价与相似的概念，引出了矩阵的相似和多项式矩阵的等价的关系。最后介绍了内积的定义和性质，以及gram矩阵的概念。
19:43 长度夹角和内积：这个视频章节主要讲述了长度夹角的定义和勾股定理的推理方法，以及数学家在研究内积后将长度和夹角作为导出概念的抽象方法。视频还介绍了利用内积建立科学时二不等式和长度夹角的概念，以及如何用几何方法解最佳逼近问题。另外，视频还讨论了标准正交基的重要性以及如何计算标准正交基和正规矩阵。最后，视频介绍了矩阵范数的定义和矩阵微积分的重要性，并强调了研究控制问题时需要重点研究指数函数。