C++多重背包模板

我是蒟蒻！！！

再次建议配合前文阅读：C++完全背包模板-CSDN博客

多重背包题解【模板】： 

题目描述

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。
第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0 0 0

输入#1

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出#1

10

题目解释

题目看上去为01背包和完全背包的结合，实则难度更大，优化方式也不同。

照例，先写出无优化的代码

多重背包无优化

核心代码如下：

for (i=1;i<=n;i++)
{
	for (k=1;k<=s[i];k++)
	{
		for (j=k*v[i];j<=V;j++)
		{
			f[i][j]=max(f[i-1][j],max(f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i],f[i][j-1]));
		}
	}
}

写法与完全背包大致相同，为不选，选，传递j-1的最大值，但是此时k有s[i]的限制

Ac代码如下： 

#include 
#include 
using namespace std;
int f[1005][1005];
int v[1005],w[1005],s[1005];
int n,V;
int main ()
{
	int i,j,k;
	scanf("%d%d",&n,&V);
	for (i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d%d",&v[i],&w[i],&s[i]);
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		for (k=1;k<=s[i];k++)
		{
			for (j=k*v[i];j<=V;j++)
			{
				f[i][j]=max(f[i-1][j],max(f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i],f[i][j-1]));
			}
		}
	}
	printf("%d",f[n][V]);
	return 0;
}

多重背包二进制优化：

我们可以将任何一个数写成由1和0组成的二进制数，也就是说，我们可以用二进制数组成一个数，如，我们可以用1（0001）2（0010）4 （0100）组成7（0111），那么我们是不是可以将某个物品的使用次数s[i]拆分成由二进制从小到大累加的数？

假如此时s[i]=7，那么我们可以拆成1+2+4，再将物品使用次数“捆绑”为一个新的物品，把1个物品看为体积为v[i],价值为w[i]，把2个物品看为体积为2*v[i],价值为2*w[i]，把4个物品看为体积为4*v[i],价值为4*w[i]，再对它们进行完全背包的优化。

那如果某个数不能恰好由2^n组成的数呢，8（1000）不能从小到大被2^n的数累加，那么我们就将剩余的数再当作一个物品进行操作，我们将8拆成1 （0001）2 （0010）4 （0100）1（0001），此时就可以进行完全动态规划了

核心代码如下：

x=v[i]

y=v[i]

z=s[i]

cnt=0
for (i=1;i<=n;i++)
{
	cin>>x>>y>>z;
	for (j=1;j<=z;j*=2)
	{
		v[++cnt]=x*j;
		w[cnt]=y*j;
		z-=j;
	}
	if (z) 
	v[++cnt]=x*z,
	w[cnt]=y*z;
}
n=cnt;

j循环2的倍数，将s[i]减去j,判断是否能再减去一个2的倍数

如果有剩余，将剩余的数捆绑为新的物品

注意：拆分后物品的总数应该为cnt而不是n

for (i=1;i<=n;i++)
{
	for (j=m;j>=v[i];j--)
	{
		a[j]=max(a[j],a[j-v[i]]+w[i]);
	}
}

倒序循环，因为我们已经将物品捆绑，不需要再重复累加，运用本轮的值，进行递推，与01背包相同

Ac代码如下：

#include 
using namespace std;
int v[2005],w[2005],a[2005];
int n,m,cnt;
int main ()
{
	int i,j;
	int x,y,z;
	cin>>n>>m;
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>x>>y>>z;
		for (j=1;j<=z;j*=2)
		{
			v[++cnt]=x*j;
			w[cnt]=y*j;
			z-=j;
		}
		if (z) 
		v[++cnt]=x*z,
		w[cnt]=y*z;
	}
	n=cnt;
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		for (j=m;j>=v[i];j--)
		{
			a[j]=max(a[j],a[j-v[i]]+w[i]);
		}
	}
	int Max=-1;
	for (i=1;i<=m;i++) Max=max(Max,a[i]);
	cout<

成功Ac,完结撒花！

测试参考题目：P1757 通天之分组背包 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

（注意将输入输出，数组大小进行修改）

如有不解或优化，可在评论区留言