数字图像处理——亚像素边缘的轮廓提取
像素
像素是图像处理中的基本单位，一个像素是图像中最小的离散化单位，具有特定的位置和颜色信息。在数字图像中，每个像素都有一个特定的坐标，通常以行和列的形式表示。每个像素的颜色信息可以通过不同的表示方式，如灰度或RGB（红绿蓝）颜色模型来表示。在灰度图像中，每个像素只包含亮度信息，而在RGB图像中，每个像素包含红、绿、蓝三个颜色通道的信息。
原图：
放大后可以看到像素的排列：
分辨率是通过图像中的像素数量来描述的，通常以水平像素数和垂直像素数表示（例如，1920x1080表示水平有1920个像素，垂直有1080个像素）。更高的分辨率通常表示图像有更多的细节。
在面阵相机中，感光元件（如CCD或CMOS传感器）捕捉到的光信号通过模数转换被转换成数字值，这些数字值被映射到图像中的像素。这个离散化的过程允许以数字形式存储和处理图像，使得计算机可以对图像进行分析、编辑和显示。
假设CMOS摄像芯片像素间距为5.2微米。当摄像机捕捉物理世界中连续的图像时，这些图像经过离散化处理，即被分成离散的像素。每个成像面上的像素点在宏观上看似连续，代表了其附近的颜色或亮度。尽管在宏观尺度上两个相邻像素之间的距离为5.2微米，但在微观尺度上，认识到它们之间可能存在更小的结构或信息，通过在两个物理像素之间引入虚拟像素，从而更细致地描述图像中的变化，这个虚拟引入的像素被称之为亚像素。
亚像素
亚像素是在数字成像领域，由于物理上已经无法在相邻像素之间增加更多实际的感光单元，通过插值算法引入虚拟像素以在图像中提高测量的精度。
插值是一种通过已知数据点来估算未知位置的方法。在图像处理中，二次或多次插值算法可以在相邻像素的位置之间插入虚拟像素，从而得到更丰富和细致的图像信息。这些虚拟像素的值是通过对相邻实际像素值的计算获得的。
常见的插值算法包括双线性插值、双三次插值等。这些算法通过考虑相邻像素之间的灰度或颜色变化，以及它们的空间关系，生成更精确的图像表示。通过引入亚像素，可以在图像中捕捉到更多的细节，提高测量的精度。
方点是物理像素，圆点为引入虚拟的亚像素：
亚像素精度在对相邻物理像素之间间隔进行更细致划分的程度。这一精度通常通过将相邻像素间隔分成二等分、三等分、四等分等来实现。例如，考虑一张5×5像素的图像，如果将相邻像素的间隔划分为四等分，就相当于创建了一个16×16的离散点阵。在这个点阵中，大正方形的点表示物理像素，而小点表示新生成的亚像素。
这种细分允许在更精细的层面上表示图像，为进行插值运算提供了更多的数据点。在实际应用中，现代机器视觉组件已经能够可靠估算至1/25的亚像素精度。这意味着系统能够以相当高的准确度测量图像中的细微特征，为各种应用领域，包括目标跟踪、图像识别和计算机视觉任务，提供更可靠的性能。高亚像素精度有助于系统更精确地捕捉和处理图像细节，提高整体性能水平。
基于亚像素的边缘检测
边缘检测
图像中的目标边缘是由一组相连的像素组成的，这些像素位于灰度不连续的两个区域的交界处。目标边缘是图像中基本的特征之一，通常表现为灰度的跳变。然而，由于各种噪声的存在，机器视觉系统采集到的图像中，目标边缘处的像素灰度变化通常并非理想的阶跃式跳变，而更倾向于渐进的变化方式。因此，可以使用模型来表示这种渐进变化，如图中所示。
在大多数情况下，基于图像自身的像素分辨率，可以找到满足机器视觉检测需求的边缘点位置。然而，在一些特殊情况下，由于传感器尺寸或成本的限制，即使相机系统的镜头与传感器匹配并且光照条件较好，采集到的图像可能很难满足对最小分辨率的需求。在这种情况下，可以采用亚像素（subpixel）边缘定位方法，以提高边缘点位置的准确度。
亚像素边缘检测
处理图像的过程中，首先进行像素级边缘提取，然后利用曲面拟合来提取亚像素级别的边缘。为了抵抗噪声，对数据进行平滑处理，接着通过梯度图像中的边缘点梯度方向，找到亚像素级别的最大值，这一最大值通常位于梯度方向所在的直线上。通过曲面拟合，将拟合后的曲面与梯度方向所在的直线相交，然后求解这些交点的极值，就能得到该点的亚像素级别的表示。这一过程有助于提高对图像边缘的精确定位，特别是在面临噪声和低分辨率图像的情况下。
像素级边缘：
亚像素级边缘：
计算方法
给定一组离散值，设观测到的极值点位置为 x，其对应的值为 f(x)，而其左右相邻位置的值分别为 f(x-1) 和 f(x+1)。真实的极值点位置为 x+δ，令 δ^ 为 δ 的估计值。假设 x 的邻域可以通过某个模型进行近似，比如高斯近似或抛物线近似，那么可以根据 x 的邻域信息，利用模型对极值进行估计。
高斯近似
高斯近似一维高斯函数 y = y m a x ⋅ e x p ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 ) y=y_{m a x}\cdot e x p(-{\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}) y=ymax⋅exp(−2σ2(x−μ)2) 当 y m a z = 1 2 σ π y_{m a z}={\frac{1}{\sqrt{2\sigma\pi}}} ymaz=2σπ1 时：
假设x邻域可用高斯近似，用 (x,f(x))、 (x−1,f(x−1))、 (x+1,f(x+1))三点对高斯函数进行拟合，获得模型参数μ即为峰值位置， δ ^ = μ − x {\hat{\delta}}=\mu-x δ^=μ−x 时，将三点带入上面的高斯函数两边同时取对数求得：
δ ^ = 1 2 ln ( f ( x − 1 ) ) − ln ( f ( x + 1 ) ) ln ( f ( x − 1 ) ) − 2 ln ( f ( x ) ) + ln ( f ( x + 1 ) ) {\hat{\delta}}={\frac{1}{2}}{\frac{\ln(f(x-1))-\ln(f(x+1))}{\ln(f(x-1))-2\ln(f(x))+\ln(f(x+1))}} δ^=21ln(f(x−1))−2ln(f(x))+ln(f(x+1))ln(f(x−1))−ln(f(x+1))
线性插值
假设在极值两侧是线性增长和线性下降的，且上升和下降的速度相同，即y=kx+b，上升侧k>0，下降侧k<0，两者绝对值相同，可以利用这个性质求解极值位置。若f(x+1)>f(x−1)则极值位于 (x,x+1)之间，可列等式：
f ( x ) − f ( x − 1 ) x − ( x − 1 ) = f ( x + δ ) − f ( x ) x + δ − x = f ( x + δ ) − f ( x + 1 ) x + 1 − ( x + δ ) {\frac{f(x)-f(x-1)}{x-(x-1)}}={\frac{f(x+\delta)-f(x)}{x+\delta-x}}={\frac{f(x+\delta)-f(x+1)}{x+1-(x+\delta)}} x−(x−1)f(x)−f(x−1)=x+δ−xf(x+δ)−f(x)=x+1−(x+δ)f(x+δ)−f(x+1)
可示得：
δ ^ = 1 2 f ( x + 1 ) − f ( x − 1 ) f ( x ) − f ( x − 1 ) {\hat{\delta}}={\frac{1}{2}}{\frac{f(x+1)-f(x-1)}{f(x)-f(x-1)}} δ^=21f(x)−f(x−1)f(x+1)−f(x−1)
下图中蓝色点即为插值出来的边缘点：
亚像素边缘检测的注意事项
摄像机几何标定的重要性： 若未对摄像机进行几何标定，即确定摄像机的内部和外部参数，对图像进行亚像素级准确度的边缘提取将毫无意义。摄像机的畸变和偏移可能导致边缘位置的偏差，尤其是在边缘位置偏移多个像素的情况下，这对于需要高精度测量的应用来说是不可接受的。
图像透视失真的影响： 由于摄像机不垂直于被测物体，可能产生图像透视失真。通过进行摄像机标定，明确摄像机内外参数，可以将图像中的测量结果转换为世界坐标上的测量结果，从而校正透视失真引入的影响。
随着对精度要求的不断提高，提高硬件分辨率是一种直接的方法，但这往往伴随着昂贵的代价。亚像素技术的应用成为解决这一问题的关键方法，因为它能够在相同或更高级别的硬件水平下实现更高的精度。该技术通过进行摄像机几何标定以及处理透视失真等步骤，弥补硬件分辨率不足的缺陷，使得在相同硬件水平下也能获得更高的测量和配准精度。