堆式存储线段树空间大小为4N的证明

前言

众所周知，堆式存储线段树空间要开到四倍，动态开点线段树空间要开到二倍。接下来给出证明。

动态开点线段树

动态开点线段树的空间大小只与线段树实际的节点数有关。一般开到$2n$。

堆式存储线段树

静态线段树一般采用堆式存储，空间与最大节点编号有关。一般开到$4n$。

证明

定理1

$\lfloor \frac{x+1}{2}\rfloor =\lceil \frac{x}{2}\rceil$

显然。

定理2

$\lfloor \frac{x}{2}\rfloor +\lceil \frac{x}{2}\rceil =x$

显然。

定理3

节点$[l,r](l\ne r),r-l+1=len$的两个子节点分别为$\left[l,\lfloor \frac{l+r}{2}\rfloor \right],\left[\lfloor \frac{l+r}{2}\rfloor +1,r\right]$，其宽度分别为：$\lceil \frac{len}{2}\rceil ,\lfloor \frac{len}{2}\rfloor$

其左区间宽度为：
$\lfloor \frac{l+r}{2}\rfloor -l+1$

我们知道：
$x-1<\lfloor x\rfloor \le x$

则：
$\frac{l+r}{2}-1<\lfloor \frac{l+r}{2}\rfloor \le \frac{l+r}{2}$

即：
$\frac{r-l+2}{2}-1<\lfloor \frac{l+r}{2}\rfloor -l+1\le \frac{r-l+2}{2}$

我们还知道：
$\frac{r-l+2}{2}-1<\lfloor \frac{r-l+2}{2}\rfloor \le \frac{r-l+2}{2}$

在$\left(\frac{r-l+2}{2}-1,\frac{r-l+2}{2}\right]$范围内显然只有一个整数，因此
$\lfloor \frac{l+r}{2}\rfloor -l+1=\lfloor \frac{r-l+2}{2}\rfloor =\lceil \frac{r-l+1}{2}\rceil =\lceil \frac{len}{2}\rceil$

同理我们可以得知右区间宽度为$len-\lceil \frac{len}{2}\rceil =\lfloor \frac{len}{2}\rfloor$。

定理4

两个线段树。宽度相同则图形态完全相同（区分左右儿子）。

应用数学归纳法容易证明。

定理5

宽度为$2^k$的线段树是一颗满二叉树，它的节点数目为$2^{k+1}-1$

首先我们考虑维护区间$[1,n=2^k]$的线段树。

显然它的形态是满二叉树。
那它的节点数量为：$\underset{i=0}{\sum ^k}{2}^i=2^{k+1}-1$

定理6

若$k=\lceil {\log }_{2}n\rceil$，则有：
$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor \le \lfloor \frac{2^k}{2}\rfloor$

$\lceil \frac{n}{2}\rceil \le \lceil \frac{2^k}{2}\rceil$

显然。

定理7

线段树是一个Leafy Tree，即它的一个节点要么没有儿子，要么有左右儿子。

假设一个节点的宽度为$len=1$，那么它为叶子，若$len\ne 1$，则它有左右儿子。且根据3可知左右儿子宽度均不为$0$。

定理8

假设根节点深度为$0$，宽度为$n$的线段树中一个深度为$k$的节点的宽度等于所有下式中的至少一个：
$\left(\underset{i=1}{\stackrel{k}{\circ }}{h}_i\right)(n)=(h_1\circ h_2\circ ...\circ h_k)(n)$

其中$h_i\in \{f,g\},f(x\ne 1)=\lfloor \frac{x}{2}\rfloor ,g(x\ne 1)=\lceil \frac{x}{2}\rceil$

应用归纳法显然。

定理9

$\left(\underset{i=1}{\stackrel{k}{\circ }}{h}_i\right)(x)\le g^{(k)}(y)$，其中$x\le y$

应用归纳法显然。

定理10

一颗宽度为$2^k$的线段树上一个深度为$x$的节点的宽度可以表示为$\frac{2^k}{2^x}=\left(\underset{i=1}{\stackrel{x}{\circ }}{h}_i\right)(2^k)$，其中任意$h_i$可以自由的取到$f/g$

也就是说此节点宽度对应的$h$序列为所有可能的长度为$x$的$h$序列。

也就说明此线段树上存在这样一个深度为$x$的节点，是$\frac{2^k}{2^x}=\left(\underset{i=1}{\stackrel{x}{\circ }}{h}_i\right)(2^k)$的必要条件。

这说明存在一组$h$使得$\frac{2^k}{2^x}=\left(\underset{i=1}{\stackrel{x}{\circ }}{h}_i\right)(2^k)$是此线段树上存在深度为$x$的节点的充分条件。

应用归纳法显然。

定理11

一颗宽度为$n$的线段树的图形态，是宽度为$2^{k=\lceil {\log }_{2}n\rceil }$的线段树图形态的一个包含根节点的生成树（根节点不变）。

这里指的不是同构，而是区分左右儿子方向的完全相同。

证明：
我们考虑线段树，宽度为$[1,n]$。

假设线段树中必定存在叶子节点$x$，其深度为$d>k$。

假设存在这样的叶子节点，那我们知道$le{n}_x=\left(\underset{i=1}{\stackrel{d}{\circ }}{h}_i\right)(n)=1$

则：$g^{(d)}(2^k)\ge \left(\underset{i=1}{\stackrel{d}{\circ }}{h}_i\right)(n)=1$

根据10，我们知道，这充分说明在宽度为$2^k$的线段树上存在一个节点其深度$>k$，这显然是不可能的。因此矛盾。

这说明宽度为$n$的线段树上没有任何一个节点的深度比宽度为$2^k$的线段树的节点的深度更大。而宽度为$2^k$的线段树是有$k+1$层节点的满二叉树，所以说明前者没有任何一个部分是后者没有的，因此得证。

定理12

由定理11可知：

宽度为$n$的线段树的节点数，以及树高，均对应小于等于对应的$2^k$的线段树。

定理13

$2^{\lceil {\log }_{2}n\rceil }<2n$

证明：
$2^{\lceil {\log }_{2}n\rceil }<2^{lo{g}_{2}n+1}=2n$

定理14

由5,12,13可知，动态开点线段树最多有$2n-1$个节点，所以空间可以开到$2n$。

定理15

根节点、图形态和左右儿子方向完全相同的两颗二叉树，在堆式存储中占用的空间位置完全相同。

显然。

定理16

由定理15可知，我们只需要讨论宽度为$2^{k=\lceil {\log }_{2}n\rceil }$的满二叉树的节点编号的最大值即可。

显然这个最大编号为$2^{k+1}-1$，即$<4n-1$。因此我们就知道了堆式存储二叉树的可能的节点编号最大值小于$4n-1$。

后话

原来证明这东西这么麻烦的。

是不是有什么简单方法。

如果您知道请您联系我。

定理17

仿照定理11，容易发现线段树去除了最后一层之后是一个满二叉树。

后记

于是皆大欢喜。