剑指offer-面试题16：数值的整数次方

题目描述

实现 pow(x, n) ，即计算 x 的 n 次幂函数（即xⁿ）。不得使用库函数，同时不需要考虑大数问题。
示例 1：
输入：x = 2.00000, n = 10
输出：1024.00000
示例 2：
输入：x = 2.10000, n = 3
输出：9.26100
示例 3：
输入：x = 2.00000, n = -2
输出：0.25000
解释：2^-2 = 1/2² = 1/4 = 0.25
提示：
-100.0 < x < 100.0
-2³¹ <= n <= 2³¹-1
-10⁴ <= xⁿ <= 10⁴

方法一（快幂法）

1.解题思路

• 计算x的n次幂，可以考虑把指数n不断除2，底数x相应变为自己的平方，乘到结果里，如果在这个过程中，指数n为奇数，则在结果里再乘以一个底数x，同时n自减1，当指数n为0时，整个过程就结束了，最终的结果，其值就是x的n次幂。
• 如果n小于0，则对应地，设一个变量b为n，然后通过b进行操作，同时x变为1/x，b变为-b。
• 因为java中32为整型范围为（-2³¹ ，2³¹-1），当n为-2³¹ 时，取反操作会越界，所以，可以设b的类型为long。

2.代码实现

class Solution {
    public double myPow(double x, int n) {
        if(n==0) return 1;
        long b=n;
        if(n<0){
            x=1.0/x;
            b=-b;
        }
        double res=1.0;
        while(b!=0){
            if(b%2==1){
                res*=x;
                b-=1;
            }
            x*=x;
            b/=2;
        }
        return res;
    }
}

3.复杂度分析

• 时间复杂度：数字n在循环过程中不断二分，直到变为0，所以时间杂度是O(log₂n)
• 空间复杂度：不需要额外的空间开销，所以空间复杂度为O(1)

方法二（递归）

1.解题思路

1. 递归终止条件：当n为0，1或-1时，可以直接返回对应的值。
2. 从上一层递归获取什么：由于每一层都需要对指数n除2，所以需要获取上一层除2之后的那一半，如果不能被2整除，还需要获取上一层除2之后的余数。
3. 每一层返回什么：返回上一层所得一半的平方再乘以余数，比如2⁷=2³*2³*2¹

2.代码实现

class Solution {
    public double myPow(double x, int n) {
        if(n==0) return 1;
        if(n==1) return x;
        if(n==-1) return 1.0/x;
        double half=myPow(x,n/2);
        double mod=myPow(x,n%2);
        return half*half*mod;
    }
}

3.复杂度分析

• 时间复杂度：数字n在循环过程中不断二分，直到变为0，所以时间杂度是O(log₂n)
• 空间复杂度：递归栈的深度为2分的次数，所以空间复杂度为O(log₂n)

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