[44]最短路径：地图软件是如何计算出最优出行路径的？

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我们本科都学习过图的两种搜索算法，深度优先搜索和广度优先搜索。这两种算法主要是针对无权图的搜索算法。针对有权图，也就是图中的每条边都有一个权重，我们该如何计算两点之间的最短路径（经过的边的权重和最小）呢？今天，我就从地图软件的路线规划问题讲起，带你看看常用的最短路径算法。
像 Google 地图、百度地图、高德地图这样的地图软件，我想你应该经常使用吧？如果想从家开车到公司，你只需要输入起始、结束地址，地图就会给你规划一条最优出行路线。这里的最优，有很多种定义，比如最短路线、最少用时路线、最少红绿灯路线等等。作为一名软件开发工程师，你是否思考过，地图软件的最优路线是如何计算出来的吗？底层依赖了什么算法呢？

算法解析

• 解决软件开发中的实际问题，最重要的一点就是建模，也就是将复杂的场景抽象成具体的数据结构。针对这个问题，我们该如何抽象成数据结构呢？
• 我们之前也提到过，图这种数据结构的表达能力很强，显然，把地图抽象成图最合适不过了。我们把每个岔路口看作一个顶点，岔路口与岔路口之间的路看作一条边，路的长度就是边的权重。如果路是单行道，我们就在两个顶点之间画一条有向边；如果路是双行道，我们就在两个顶点之间画两条方向不同的边。这样，整个地图就被抽象成一个有向有权图。
• 于是，我们要求解的问题就转化为，在一个有向有权图中，求两个顶点间的最短路径。

public class Graph { // 有向有权图的邻接表表示
  private LinkedList[] adj; // 邻接表
  private int v; // 顶点个数

  public Graph(int v) {
    this.v = v;
    this.adj = new LinkedList[v];
    for (int i = 0; i < v; ++i) {
      this.adj[i] = new LinkedList<>();
    }
  }

  public void addEdge(int s, int t, int w) { // 添加一条边
    this.adj[s].add(new Edge(s, t, w));
  }

  private class Edge {
    public int sid; // 边的起始顶点编号
    public int tid; // 边的终止顶点编号
    public int w; // 权重
    public Edge(int sid, int tid, int w) {
      this.sid = sid;
      this.tid = tid;
      this.w = w;
    }
  }
  // 下面这个类是为了dijkstra实现用的
  private class Vertex {
    public int id; // 顶点编号ID
    public int dist; // 从起始顶点到这个顶点的距离
    public Vertex(int id, int dist) {
      this.id = id;
      this.dist = dist;
    }
  }
}

• 想要解决这个问题，有一个非常经典的算法，最短路径算法，更加准确地说，是单源最短路径算法（一个顶点到一个顶点）。提到最短路径算法，最出名的莫过于 Dijkstra 算法了。所以，我们现在来看，Dijkstra 算法是怎么工作的。

本人自己实现的优先队列

// 因为Java提供的优先级队列，没有暴露更新数据的接口，所以我们需要重新实现一个
private class PriorityQueue { // 根据vertex.dist构建小顶堆
    private Vertex[] nodes;// 数组，从下标 1 开始存储数据
    private int n;// 堆可以存储的最大数据个数
    private int count;// 堆中已经存储的数据个数

    public PriorityQueue(int v) {
        this.nodes = new Vertex[v + 1];
        this.n = v;
        this.count = 0;
    }

    public Vertex poll() {
        if (count == 0) return new Vertex(-1, 0);
        Vertex del = nodes[1];
        nodes[1] = nodes[count];
        --count;
        heapify(nodes, count, 1);
        return del;
    }

    public void add(Vertex vertex) {
        ++count;
        nodes[count] = vertex;
        int i = count;
        while ((i >> 1) > 0 && nodes[i].dist < nodes[i >> 1].dist) {// 自下往上堆化
            swap(nodes, i, i >> 1);// swap() 函数作用：交换下标为 i 和 i / 2 的两个元素
            i >>= 1;
        }
    }

    private void heapify(Vertex[] a, int n, int i) {// 自上往下堆化
        while (true) {
            int minPos = i;
            if ((i << 1) <= n && a[i].dist < a[i << 1].dist) minPos = (i << 1);
            if ((i << 1) + 1 <= n && a[minPos].dist > a[(i << 1) + 1].dist) minPos = (i << 1) + 1;
            if (minPos == i) break;
            swap(a, i, minPos);
            i = minPos;
        }
    }

    private void swap(Vertex[] nodes, int l, int r) {
        Vertex tmp = nodes[l];
        nodes[l] = nodes[r];
        nodes[r] = tmp;
    }

    // 更新结点的值，并且从下往上堆化，重新符合堆的定义。时间复杂度O(logn)。
    public void update(Vertex vertex) {
        for (int i = 1; i <= count; ++i) {
            if (nodes[i].id == vertex.id) {
                nodes[i].dist = vertex.dist;
            }
        }
        heapify(nodes, count, 1);
    }

    public boolean isEmpty() {
        return count == 0;
    }
}

以下是原文算法

public static class Graph { // 有向有权图的邻接表表示
    private final LinkedList[] adj; // 邻接表
    private final int v; // 顶点个数

    public Graph(int v) {
        this.v = v;
        this.adj = new LinkedList[v];
        for (int i = 0; i < v; ++i) {
            this.adj[i] = new LinkedList<>();
        }
    }

    public void addEdge(int s, int t, int w) { // 添加一条边
        this.adj[s].add(new Edge(s, t, w));
    }

    private static class Edge {
        public int sid; // 边的起始顶点编号
        public int tid; // 边的终止顶点编号
        public int w; // 权重

        public Edge(int sid, int tid, int w) {
            this.sid = sid;
            this.tid = tid;
            this.w = w;
        }
    }

    // 下面这个类是为了dijkstra实现用的
    private static class Vertex {
        public int id; // 顶点编号ID
        public int dist; // 从起始顶点到这个顶点的距离

        public Vertex(int id, int dist) {
            this.id = id;
            this.dist = dist;
        }
    }

    public void dijkstra(int s, int t) { // 从顶点s到顶点t的最短路径
        int[] predecessor = new int[this.v]; // 用来还原最短路径
        Vertex[] vertexes = new Vertex[this.v];
        for (int i = 0; i < this.v; ++i) {
            vertexes[i] = new Vertex(i, Integer.MAX_VALUE);
        }
        PriorityQueue queue = new PriorityQueue(this.v);// 小顶堆
        boolean[] inqueue = new boolean[this.v]; // 标记是否进入过队列
        vertexes[s].dist = 0;
        queue.add(vertexes[s]);
        inqueue[s] = true;
        while (!queue.isEmpty()) {
            Vertex minVertex = queue.poll(); // 取堆顶元素并删除
            if (minVertex.id == t) break; // 最短路径产生了
            for (int i = 0; i < adj[minVertex.id].size(); ++i) {
                Edge e = adj[minVertex.id].get(i); // 取出一条minVertex相连的边
                Vertex nextVertex = vertexes[e.tid]; // minVertex-->nextVertex
                if (minVertex.dist + e.w < nextVertex.dist) { // 更新next的dist
                    nextVertex.dist = minVertex.dist + e.w;
                    predecessor[nextVertex.id] = minVertex.id;
                    if (inqueue[nextVertex.id]) {
                        queue.update(nextVertex); // 更新队列中的dist值
                    } else {
                        queue.add(nextVertex);
                        inqueue[nextVertex.id] = true;
                    }
                }
            }
        }
        // 输出最短路径
        System.out.print(s);
        print(s, t, predecessor);
    }

    private void print(int s, int t, int[] predecessor) {
        if (s == t) return;
        print(s, predecessor[t], predecessor);
        System.out.print("->" + t);
    }
}

• 我们用 vertexes 数组，记录从起始顶点到每个顶点的距离（dist）。起初，我们把所有顶点的 dist 都初始化为无穷大（也就是代码中的 Integer.MAX_VALUE）。我们把起始顶点的 dist 值初始化为 0，然后将其放到优先级队列中。
• 我们从优先级队列中取出 dist 最小的顶点 minVertex，然后考察这个顶点可达的所有顶点（代码中的 nextVertex）。如果 minVertex 的 dist 值加上 minVertex 与 nextVertex 之间边的权重 w 小于 nextVertex 当前的 dist 值，也就是说，存在另一条更短的路径，它经过 minVertex 到达 nextVertex。那我们就把 nextVertex 的 dist 更新为 minVertex 的 dist 值加上 w。然后，我们把 nextVertex 加入到优先级队列中。重复这个过程，直到找到终止顶点 t 或者队列为空。

以上就是 Dijkstra 算法的核心逻辑。除此之外，代码中还有两个额外的变量，predecessor 数组和 inqueue 数组。

• predecessor 数组的作用是为了还原最短路径，它记录每个顶点的前驱顶点。最后，我们通过递归的方式，将这个路径打印出来。打印路径的 print 递归代码我就不详细讲了，这个跟我们在图的搜索中讲的打印路径方法一样。如果不理解的话，你可以回过头去看下那一节。
• inqueue 数组是为了避免将一个顶点多次添加到优先级队列中。我们更新了某个顶点的 dist 值之后，如果这个顶点已经在优先级队列中了，就不要再将它重复添加进去了。

• 看完了代码和文字解释，你可能还是有点懵，那我就举个例子，再给你解释一下。

  
  
  分步解析图
• 理解了 Dijkstra 的原理和代码实现，我们来看下，Dijkstra 算法的时间复杂度是多少？
• 在刚刚的代码实现中，最复杂就是 while 循环嵌套 for 循环那部分代码了。while 循环最多会执行 V 次（V 表示顶点的个数），而内部的 for 循环的执行次数不确定，跟每个顶点的相邻边的个数有关，我们分别记作 E0，E1，E2，……，E(V-1)。如果我们把这 V 个顶点的边都加起来，最大也不会超过图中所有边的个数 E（E 表示边的个数）。for 循环内部的代码涉及从优先级队列取数据、往优先级队列中添加数据、更新优先级队列中的数据，这样三个主要的操作。我们知道，优先级队列是用堆来实现的，堆中的这几个操作，时间复杂度都是 O(logV)（堆中的元素个数不会超过顶点的个数 V）。所以，综合这两部分，再利用乘法原则，整个代码的时间复杂度就是 O(E*logV) 。
• 对于软件开发工程师来说，我们经常要根据问题的实际背景，对解决方案权衡取舍。类似出行路线这种工程上的问题，我们没有必要非得求出个绝对最优解。很多时候，为了兼顾执行效率，我们只需要计算出一个可行的次优解就可以了。
• 对于这样两点之间距离较远的路线规划，我们可以把北京海淀区或者北京看作一个顶点，把上海黄浦区或者上海看作一个顶点，先规划大的出行路线。比如，如何从北京到上海，必须要经过某几个顶点，或者某几条干道，然后再细化每个阶段的小路线。

这样，最短路径问题就解决了。我们再来看另外两个问题，最少时间和最少红绿灯。

• 前面讲最短路径的时候，每条边的权重是路的长度。在计算最少时间的时候，算法还是不变，我们只需要把边的权重，从路的长度变成经过这段路所需要的时间。不过，这个时间会根据拥堵情况时刻变化。如何计算车通过一段路的时间呢？这是一个蛮有意思的问题，你可以自己思考下。
• 每经过一条边，就要经过一个红绿灯。关于最少红绿灯的出行方案，实际上，我们只需要把每条边的权值改为 1 即可，算法还是不变，可以继续使用前面讲的 Dijkstra 算法。不过，边的权值为 1，也就相当于无权图了，我们还可以使用之前讲过的广度优先搜索算法。因为我们前面讲过，广度优先搜索算法计算出来的两点之间的路径，就是两点的最短路径。
• 不过，这里给出的所有方案都非常粗糙，只是为了给你展示，如何结合实际的场景，灵活地应用算法，让算法为我们所用，真实的地图软件的路径规划，要比这个复杂很多。而且，比起 Dijkstra 算法，地图软件用的更多的是类似 A* 的启发式搜索算法，不过也是在 Dijkstra 算法上的优化罢了，我们后面会讲到，这里暂且不展开。

总结引申

• 今天，我们学习了一种非常重要的图算法，Dijkstra 最短路径算法。实际上，最短路径算法还有很多，比如 Bellford 算法、Floyd 算法等等。如果感兴趣，你可以自己去研究。
• 关于 Dijkstra 算法，我只讲了原理和代码实现。对于正确性，我没有去证明。之所以这么做，是因为证明过程会涉及比较复杂的数学推导。这个并不是我们的重点，你只要掌握这个算法的思路就可以了。

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魔都日景