巴尔加瓦算法图解——第八章 贪婪算法（上）

对不住，虽然我知道没有人看，那就说对不住作为观众的自己吧。这段时间精神状态非常不好，学习的东西没有以前多了。不过我还是要继续更新。只要我还更新着，说明人还有点生气。我自己会原谅自己的。

目录

第八章 贪婪算法

8.1　教室调度问题

8.2背包问题

8.3　集合覆盖问题

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第八章 贪婪算法

本章内容

❑ 学习如何处理不可能完成的任务：没有快速算法的问题（NP完全问题）。

❑ 学习识别NP完全问题，以免浪费时间去寻找解决它们的快速算法。

❑ 学习近似算法，使用它们可快速找到NP完全问题的近似解。

❑ 学习贪婪策略——一种非常简单的问题解决策略。

8.1　教室调度问题

希望在这间教室上尽可能多的课。如何选出尽可能多且时间不冲突的课程呢？这个问题好像很难，不是吗？

实际上，算法可能简单得让你大吃一惊。具体做法如下。

(1)选出结束最早的课，它就是要在这间教室上的第一堂课。

(2)接下来，必须选择第一堂课结束后才开始的课。同样，你选择结束最早的课，这将是要在这间教室上的第二堂课。

美术	9	10	☑️
英语	9	10:30
数学	10	11	☑️
计算机	10：30	11:30
音乐	11	12	☑️

用专业术语说，就是你每步都选择局部最优解，最终得到的就是全局最优解。

8.2背包问题

假设你是个贪婪的小偷，背着可装35磅（1磅≈0.45千克）重东西的背包，在商场伺机盗窃各种可装入背包的商品。

音响：3000/30磅

笔记本电脑：2000/20磅

吉他：1500/15磅

同样，你采取贪婪策略，这非常简单。

(1)盗窃可装入背包的最贵商品。

(2)再盗窃还可装入背包的最贵商品，以此类推。

贪婪策略选了音响，获得3000元。实际上可以装笔记本+吉他=3500元。

在这里，贪婪策略显然不能获得最优解，但非常接近。

根本原因：背包问题有两个衡量标准——重量和价值；而课程安排只有“时间”。

你只需找到一个能够大致解决问题的算法，此时贪婪算法正好可派上用场，因为它们实现起来很容易，得到的结果又与正确结果相当接近。

8.1　你在一家家具公司工作，需要将家具发往全国各地，为此你需要将箱子装上卡车。每个箱子的尺寸各不相同，你需要尽可能利用每辆卡车的空间，为此你将如何选择要装上卡车的箱子呢？请设计一种贪婪算法。使用这种算法能得到最优解吗？

选择能装的最大空间的箱子，不断重复。

不能得到最优解。

8.2　你要去欧洲旅行，总行程为7天。对于每个旅游胜地，你都给它分配一个价值——表示你有多想去那里看看，并估算出需要多长时间。你如何将这次旅行的价值最大化？请设计一种贪婪算法。使用这种算法能得到最优解吗？

不断地挑选可在余下的时间内完成的价值最大的活动，直到余下的时间不够完成任何活动为止。不能得到。

得到的办法：想去程度从高到低排序，花费时间从高到低排序，在限制的时间内遍历。

8.3　集合覆盖问题

如何找出覆盖全美50个州的最小广播台集合？

（1）列出集合

每个位置都有“选”或者“不选”两个选择，总共有2^n种方案。

运行时间O（2^n），运行时间很慢。

（2）找最小。

近似算法：

（1）首先选择覆盖最多州的广播电台，然后进行循环，选出去除已覆盖州后，覆盖最多未覆盖州的广播台。

（2）重复（1）

这是一种近似算法(approximation algorithm)。在获得精确解需要的时间太长时，可使用近似算法。

判断近似算法优劣的标准如下：❑ 速度有多快；❑ 得到的近似解与最优解的接近程度。

贪婪算法是不错的选择，它们不仅简单，而且通常运行速度很快。在这个例子中，贪婪算法的运行时间为O(n^2)，其中n为广播台数量。

最好的情况：一个电台覆盖50个州，搜索一次。

最坏的情况：每个电台之间覆盖没有交集。第一次搜索规模是n，搜索N次，n^2。