手工计算层次分析法的最大特征根和特征向量

层次分析法在实际应用时，可以用成对比较阵A的列向量的平均值近似代替特征向量，称为和法，其步骤是：先将A的每一列向量归一化，按行求和后再归一化，得到 $w=(a_1,a_2,...,a_n{)}^T$ 即为近似特征向量，并将 $\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n\frac{(Aw{)}_i}{a_i}$(可以看例子理解)作为近似最大特征根。

设 A = [ 1 1 / 2 1 / 3 2 1 1 3 1 1 ] A = \left [ \begin{matrix} 1 & 1/2 & 1/3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end {matrix} \right ] A= ​123​1/211​1/311​ ​，用和法计算近似特征向量和近似最大特征根。

解：
【1】求特征向量：

A = [ 1 1 / 2 1 / 3 2 1 1 3 1 1 ] A = \left [ \begin{matrix} 1 & 1/2 & 1/3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end {matrix} \right ] A= ​123​1/211​1/311​ ​

各列归一化 → [ 1 / 6 1 / 5 1 / 7 1 / 3 2 / 5 3 / 7 1 / 2 2 / 5 3 / 7 ] \underrightarrow{各列归一化} \left [ \begin{matrix} 1/6 & 1/5 & 1/7 \\ 1/3 & 2/5 & 3/7 \\ 1/2 & 2/5 & 3/7 \end{matrix}\right ] 各列归一化​ ​1/61/31/2​1/52/52/5​1/73/73/7​ ​

各行求和 → [ 107 / 210 122 / 105 93 / 70 ] \underrightarrow{各行求和}\left [ \begin{matrix} 107/210 \\ 122/105 \\ 93/70 \end{matrix}\right ] 各行求和​ ​107/210122/10593/70​ ​

再归一化 → [ 107 / 630 122 / 315 31 / 70 ] ≈ [ 0.1698 0.3873 0.4429 ] = w \underrightarrow{再归一化}\left [ \begin{matrix} 107/630 \\ 122/315 \\ 31/70 \end{matrix}\right ] \approx \left [ \begin{matrix} 0.1698 \\ 0.3873 \\ 0.4429 \end{matrix}\right ] = w 再归一化​ ​107/630122/31531/70​ ​≈ ​0.16980.38730.4429​ ​=w

【2】求最大特征根：

$\lambda =\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n\frac{(Aw{)}_i}{a_i}$

其中 A w = [ 1 1 / 2 1 / 3 2 1 1 3 1 1 ] [ 0.1698 0.3873 0.4429 ] = [ 0.5111 1.1698 1.3396 ] Aw = \left [ \begin{matrix} 1 & 1/2 & 1/3 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{matrix}\right ] \left [ \begin{matrix} 0.1698 \\ 0.3873 \\ 0.4429 \end{matrix}\right ] = \left [ \begin{matrix} 0.5111 \\ 1.1698 \\ 1.3396 \end{matrix}\right ] Aw= ​123​1/211​1/311​ ​ ​0.16980.38730.4429​ ​= ​0.51111.16981.3396​ ​

则 $\lambda =\frac{1}{3}(\frac{0.5111}{0.1698}+\frac{1.1698}{0.3873}+\frac{1.3396}{0.4429})=3.0183$