高中奥数 2021-11-28

2021-11-28-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与方程 P027 习题1）

是关于的实系数方程有实根的().

(A)充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件

(C)充分且必要条件

(D)非充分又非必要条件

分析与解

令,则原方程变形为.(1)

原方程有实根的充要条件是关于的方程(1)有非负实根,从而可知是方程(1)有非负实根的必要而不充分条件.

2021-11-28-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与方程 P027 习题2）

设方程的两个虚根为、,且,则实数的值等于().

(A)

(B)

(C)

(D)

分析与解

由,,而是纯虚数,从而.

,所以.

2021-11-28-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与方程 P027 习题3）

方程在复数集内的根的个数是,则().

(A)最大是

(B)最大是

(C)最大是

(D)最大是

分析与解

不妨设.

由、、均是实数,可知必是实数,因此是实数或纯虚数.

若是实数,则或.

若是纯虚数,则或.

对、异号时,有个根满足要求;对其他的情况,满足要求的根都不足个.

2021-11-28-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与方程 P027 习题4）

设是模不为的虚数,记,设实数满足,证明:.

证明

由题意可设,,则

$\begin{aligned} \omega &=z+\dfrac{1}{z}\\ &=r\left(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta \right)+\dfrac{1}{4}\left(\cos \theta -\mathrm{i}\sin \theta \right)\\ &=\left(r+\dfrac{1}{r}\right)\cos\theta +\mathrm{i}\left(r-\dfrac{1}{r}\right)\sin\theta, \end{aligned}$

因为 ,且,所以,故是虚数,即方程有虚数根,所以,故,证毕.

2021-11-28-05

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与方程 P027 习题5）

设非零复数、在复平面内的对应点分别为、,且满足,.

(1)试判断(为原点)的形状;

(2)求的面积.

分析与解

(1)由得,即,亦即.

由此得是直角三角形,且,;

(2).

2021-11-28-06

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与方程 P027 习题6）

已知与是两个实系数方程,且对所有的实数满足恒等式,若方程无实根,求证:方程也无实根.

证明

由实系数方程无实根,可知其虚根成对出现.

$\begin{aligned} &P\left(x\right)-Q\left(x\right)\\=&A\left[x-\left(a_{1}+b_{1}\mathrm{i}\right)\right]\left[x-\left(a_{1}-b_{1}\mathrm{i}\right)\right]\cdots\left[x-\left(a_{n}+b_{n}\mathrm{i}\right)\right]\left[x-\left(a_{n}-b_{n}\mathrm{i}\right)\right]\\= &A\left[\left(x-a_{1}\right)^{2}+b_{1}^2\right]\cdots\left[\left(x-a_{n}\right)^{2}+b_{n}^2\right]. \end{aligned}$

不妨设常数,于是,对任意,有.

而、亦是实数,从而

故方程无实根,证毕.

2021-11-28-07

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与方程 P027 习题7）

已知关于的二次方程有实根,求实数的值.

分析与解

设原方程有一实根,则

即.

根据复数相等的充要条件,有

解得或.

当时,代入得.

因为,,所以不成立.

同理,当时,也不成立.

当时,方程变为,所以满足题满足题意,故.

2021-11-28-08

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与方程 P027 习题8）

设、、,,.是复数,.求证的充分必要条件是.

证明

一方面,若,则由求根公式,得

于是

$\begin{aligned} \left|\dfrac{a^{2}+b-(a+c) z}{a c-b}\right| &=\left|\dfrac{a^{2}+c^{2}+2 b \mp(a+c) \sqrt{-(a-c)^{2}-4 b} \cdot \mathrm{i}}{2(a c-b)}\right| \\ &=\sqrt{\dfrac{\left(a^{2}+c^{2}+2 b\right)^{2}-(a+c)^{2}\left[(a-c)^{2}+4 b\right]}{(2 a c-2 b)^{2}}} \\ &=\sqrt{\dfrac{\left(a^{2}+c^{2}+2 b\right)^{2}-\left(a^{2}-c^{2}\right)^{2}-4 b(a+c)^{2}}{4(a c-b)^{2}}} \\ &=\sqrt{\dfrac{\left(a^{2}+b\right)\left(c^{2}+b\right)-b\left(a^{2}+c^{2}+2 a c\right)}{(a c-b)^{2}}} \\ &=\sqrt{\dfrac{a^{2} c^{2}+b^{2}-2 a b c}{(a c-b)^{2}}}=1 . \end{aligned}$

另一方面,若,假设,则有两个不相等的实根.

于是或,即或.

当把代入时,得到,与相矛盾.

当把代入时,得到,这与条件及前面的假设相矛盾.

于是,、均不是方程的根,矛盾.

故一定有,证毕.

高中奥数 2021-11-28

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