算法设计与分析-图算法小结BFS/DFS/Topologic/Dijkstra/Floyd/最大流
图
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图的表示
- 邻接矩阵 空间复杂度 Θ ( V 2 ) Θ(V^2) Θ(V2)
- 邻接链表 空间复杂度 Θ ( V + E ) Θ(V+E) Θ(V+E)
BFS
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邻接链表 时间复杂度 Θ ( V + E ) Θ(V+E) Θ(V+E)
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void BFS(Graph G, int v) {//从顶点v出发，广度优先遍历图G visit(v);//访问初始顶点 vsited[v] = true;//标记访问 Enqueue(Q, v);//入队 while (!isEmpty(Q)) { DeQueue(Q, v);//出队 for (w = FirstNeighbor(G, v); w >= 0; w = NextNeighbor(G, v, w)) if (!visited[w]) {//w为v未访问邻接顶点 visit(w);//访问 visited[w] = true;//标记 EnQueue(Q, w);//进队 } } } -
无权最短路径问题
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前驱子图，BFS生成树
DFS
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递归是核心
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void DFS(Graph G,int v){ visit(v); visited[v]=true; for(w=FirstNeighbour(G,v);w>=0;w=NextNeighor(G,v,w)){ if(!visited[w]){ DFS(G,w); } } }
Topolpgical sort
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拓扑排序是可以用来简单地判环的,若能则无环。
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// deg是入度，在存图的时候需要录入数据 // A是排序后的数组 int deg[MAXN], A[MAXN]; bool toposort(int n) { int cnt = 0; queue<int> q;//若是priority_queue,则可以输出字典序最大/小拓扑序 for (int i = 1; i <= n; ++i) if (deg[i] == 0) q.push(i); while (!q.empty()) { int t = q.front(); q.pop(); A[cnt++] = t; for (auto to : edges[t]) { deg[to]--; if (deg[to] == 0) // 出现了新的入度为0的点 q.push(to); } } return cnt == n;// }
最小生成树
- [Kruskal][https://blog.csdn.net/yf_li123/article/details/75195549] , [Prim算法][https://blog.csdn.net/yf_li123/article/details/75148998]
单源最短路径
- Bellman-Ford
//检测有无负环
//spfa可以计算有负环 单元最短路径
void bellman_ford()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
for (int i = 0; i < k; i ++ )
{
memcpy(last, dist, sizeof dist);
for (int j = 0; j < m; j ++ )
{
auto e = edges[j];
dist[e.b] = min(dist[e.b], last[e.a] + e.c);
}
}
}
- [Topological-sort][https://blog.csdn.net/dragon8462_/article/details/119746134]
//只能有向无环图
-
Dijisktra[Dijkstra算法介绍及其优先队列优化和斐波那契堆优化][https://blog.csdn.net/qq_33903332/article/details/116095232]
//
int dijkstra()
{
// 初始化， 一号点到起点的距离为0， 其他点到起点的距离为正无穷
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
for(int i = 0; i < n -1; i ++) // n - 1迭代
{
int t = -1;
// 找到未加到 st 集合的最短距离
for(int j = 1; j <= n ; j ++)
if( !st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]) )
t = j;
// 将t点加入到集合
st[t] = true;
// 更新从t出去的所有的边，他组成的路径能不能更强其他点的距离
for(int j = 1; j <= n; j++)
dist[j] = min(dist[j], dist[t] + w[t][j]);
}
}
//堆优化
const int N = 1e5+7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
struct Node{
int to, w;
};//to指向另一端的结点, w表示边的长度
vector<Node> g[N];//邻接表存储图
int n, m, s;//n-结点数, m-边数, s-源点
int d[N];//记录源点s到图中所有结点的最短路
bool vis[N];//在Dijkstra算法中用于记录结点是否访问
void Dijkstra_2(int s) {
memset(d, 0x3f, sizeof(d));//初始距离设为INF
d[s] = 0;//源点到源点的距离为 0
//使用优先队列实现堆, 默认以pair的first从大到小排序
priority_queue< pair<int, int> > q;
q.push(make_pair(0, s));//源点放入堆中
while (!q.empty()) {
pair<int, int> t = q.top(); q.pop();
int from = t.second;
if (vis[from]) continue;//跳过已经访问过的结点
vis[from] = true;
//以该点为中间结点更新最短路径
for (int i = 0; i < g[from].size(); i++) {
int to = g[from][i].to;
int w = g[from][i].w;
if (d[to] > d[from] + w) {
d[to] = d[from] + w;
if (vis[to] == false) {
//first以负数存储, d小的反而大, 在堆顶
q.push(make_pair(-d[to], to));
}
}
}
}
}
所有点对最短路径
-
Dijisktra跑n遍(不带负权)-Greedy -
Floyd-Warshall-DP (假设权重可以为负，但不能有权重为负的环路。)d i j k d_{ij}^k dijk为从结点 $i $到 j j j 的所有中间结点全部取自集合 { 1 , 2 , . . . , k } \{1,2,...,k\} {1,2,...,k}的一条最短路径的权重。
当 k = 0 k = 0 k=0时，也就是从结点 $i $到 j j j 的路径上不包括任何结点。这样路径上只有 ( i , j ) (i,j) (i,j)这一条边，此时 d i j 0 = w ( i , j ) d_{ij}^0 = w(i,j) dij0=w(i,j)。
当 k ⩾ 1 k \geqslant 1 k⩾1时，又可以分为两种情况：
- 结点 $i $到 j j j 的最短路径 p p p，没有经过结点 k k k，此时 d i j k = d i j k − 1 d_{ij}^k = d_{ij}^{k-1} dijk=dijk−1。
- 结点 $i $到 j j j 的最短路径 p p p，经过结点了 k k k， d i j k = d i k k − 1 + d k j k − 1 d_{ij}^k = d_{ik}^{k-1} +d_{kj}^{k-1} dijk=dikk−1+dkjk−1。
D
$d_{ij}^k= \begin{cases} w(i,j)& k=0\ min{d_{ij}^{k-1}, d_{ik}^{k-1} + d_{kj}^{k-1} } & k\geqslant 1\ \end{cases}\$
PI(前驱矩阵)
$\pi_{ij}^k= \begin{cases} \pi_{ij}^{k-1} & d_{ij}^{k-1} \leqslant d_{ik}^{k-1} + d_{kj}^{k-1}\ \pi_{kj}^{k-1} & d_{ij}^{k-1} \gt d_{ik}^{k-1} + d_{kj}^{k-1}\ \end{cases}\$
FLOYD-WARSHALL(W) n = W.rows D0 = W let P = n x n martix initialized with nil//前驱矩阵 for i = 1 to n for j = 1 to n if i != j and D[i, j] < ∞ P[i, j] = i for k = 1 to n Dk = new n x n matrix //可以直接用两个矩阵颠倒 for i=1 to n for j= 1 to n D[ij] = min(Dk-1[ij], Dk-1[ik] + Dk-1[kj])
$$D^0 = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 8 & \infty & -4 \ \infty & 0 & \infty & 1 & 7 \ \infty & 4 & 0 & \infty & \infty \ 2 & \infty & -5 & 0 & \infty \ \infty & \infty & \infty & 6 & 0 \ \end{bmatrix} P^0 = \begin{bmatrix} NIL & 1 & 1 & NIL & 1 \ NIL & NIL & NIL & 2 & 2 \ NIL & 3 & NIL & NIL & NIL \ 4 & NIL & 4 & NIL & NIL \ NIL & NIL & NIL & 5 & NIL \ \end{bmatrix}\ D^1 = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 8 & \infty & -4 \ \infty & 0 & \infty & 1 & 7 \ \infty & 4 & 0 & \infty & \infty \ 2 & 5 & -5 & 0 & -2 \ \infty & \infty & \infty & 6 & 0 \ \end{bmatrix} P^1 = \begin{bmatrix} NIL & 1 & 1 & NIL & 1 \ NIL & NIL & NIL & 2 & 2 \ NIL & 3 & NIL & NIL & NIL \ 4 & 1 & 4 & NIL & 1 \ NIL & NIL & NIL & 5 & NIL \ \end{bmatrix}\ D^2 = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 8 & 4 & -4 \ \infty & 0 & \infty & 1 & 7 \ \infty & 4 & 0 & 5 & 11 \ 2 & 5 & -5 & 0 & -2 \ \infty & \infty & \infty & 6 & 0 \ \end{bmatrix} P^2 = \begin{bmatrix} NIL & 1 & 1 & 2 & 1 \ NIL & NIL & NIL & 2 & 2 \ NIL & 3 & NIL & 2 & 2 \ 4 & 1 & 4 & NIL & 1 \ NIL & NIL & NIL & 5 & NIL \ \end{bmatrix}\ D^3 = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 8 & 4 & -4 \ \infty & 0 & \infty & 1 & 7 \ \infty & 4 & 0 & 5 & 11 \ 2 & 5 & -5 & 0 & -2 \ \infty & \infty & \infty & 6 & 0 \ \end{bmatrix} P^3 = \begin{bmatrix} NIL & 1 & 1 & 2 & 1 \ NIL & NIL & NIL & 2 & 2 \ NIL & 3 & NIL & 2 & 2 \ 4 & 3 & 4 & NIL & 1 \ NIL & NIL & NIL & 5 & NIL \ \end{bmatrix}\ D^4 = \begin{bmatrix} 0 & 3 & -1 & 4 & -4 \ 3 & 0 & -4 & 1 & -1 \ 7 & 4 & 0 & 5 & 3 \ 2 & -1 & -5 & 0 & -2 \ 8 & 5 & 1 & 6 & 0 \ \end{bmatrix} P^4 = \begin{bmatrix} NIL & 1 & 4 & 2 & 1 \ 4 & NIL & 4 & 2 & 1 \ 4 & 3 & NIL & 2 & 1 \ 4 & 3 & 4 & NIL & 1 \ 4 & 3 & 4 & 5 & NIL \ \end{bmatrix}\ D^5 = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -3 & 2 & -4 \ 3 & 0 & -4 & 1 & -1 \ 7 & 4 & 0 & 5 & 3 \ 2 & -1 & -5 & 0 & -2 \ 8 & 5 & 1 & 6 & 0 \ \end{bmatrix} P^5 = \begin{bmatrix} NIL & 3 & 4 & 5 & 1 \ 4 & NIL & 4 & 2 & 1 \ 4 & 3 & NIL & 2 & 1 \ 4 & 3 & 4 & NIL & 1 \ 4 & 3 & 4 & 5 & NIL \ \end{bmatrix}\\$$
csdn好像不支持这么长的公式
可以参考算法导论或者下面的图片
最大流（流网络的最大容量问题，最小分割问题
参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/356840694
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