有效域介绍--《椭圆曲线密码学导论》

域由一个集合F和两种运算组成

集合F={a，b，…}，对F的元素定义了两种运算：“+”和“*”，并满足以下3个条件，

1：(F,+)的元素关于运算“+”构成交换群，其单位元素为0。

2：(F\{0},*)的元素关于运算“*”构成交换群,其单位元素为1 。即F中元素排除元素0后，关于*法构成交换群。

3：分配律成立，即对于任意元素 a，b，c∈F，恒有

    a*(b+c)=(b+c)*a=a*b+a*c

p是素数时，可证F{0，1，2，…，p-1}，在modp意义下，关于求和运算“+”，及乘积“*”，构成了域。F域的元素数目有限时称为有限域。

有限域的阶

有限域元素的数目称为有限域的阶。对于有限域，其元素的数目必然是素数的幂。而这个对应的素数成为有限域的特征。在编码和密码理论里面2^n阶有限域被广泛使用，具有非常重要的意义。

而另外，所有阶数相同的有限域是同构的。也就是说，从本质上讲，给定有限域的阶，有限域就唯一确定了。

费马小定理有限域推广

假设一个有限域的阶是q=p^n,那么对于有限域里面任意一个元素x,x^q=x,这个就是数论中费马小定理在有限域中的推广。