【算法】一维、二维前缀和 解决算法题（C++）

1. 前缀和算法 介绍

前缀和算法 用于高效地计算 数组或序列 中某个区间内元素的和。

前缀和数组是一个辅助数组，其每个元素存储原始数组从开头到当前位置的元素和。通过提前计算前缀和数组，可以在O(1)的时间复杂度内快速计算出任意区间内的元素和。

2. 一维前缀和 模板引入

DP34【模板】前缀和

这道题目帮助我们 理解前缀和模板 和 使用前缀和数组 ：

思路

• 题意分析：题目要求我们返回 数组中l~r范围内所有元素的和

• 我们引出前缀和数组dp的使用：
  

• 解法：前缀和数组

  1. 我们首先通过循环dp[i] = dp[i-1] + arr[i] 进行dp数组的初始化（预处理）
  2. 再根据找到的规律，l~r的范围和即为dp[r]-dp[l-1]

代码

int main() {
    int n = 0, q = 0;
    cin >> n >> q;
    vector<int> arr(n+1); // 下标从1开始，数组大小为n+1
    // 写入数组
    for(int i = 1; i <= n; ++i) cin >> arr[i];

    // 预处理前缀和数组
    vector<long long> dp(n+1); // long long 防止溢出
    for(int i = 1; i <= n; ++i) dp[i] = dp[i-1] + arr[i];

    // 使用前缀和数组
    while(q--)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        cout << dp[r] - dp[l-1] << endl;
    }

    return 0;
}

---

3. 利用一维前缀和 解题

724.寻找数组的中心下标

思路

• 题意分析：要求我们找到数组的中心下标，中心下标满足：左侧元素和==右侧元素和
• 解法：前缀和数组 + 后缀和数组
  1. 预处理前缀和 / 后缀和数组
     • p[i] = p[i-1] + nums[i-1];
     • s[i] = s[i+1] + nums[i+1];
  2. 遍历数组：找到满足条件的中心下标（p[i] == s[i]）
  3. 细节注意：关于创建两数组时，循环条件从哪到哪。

代码

int pivotIndex(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    
    // 预处理前缀和数组
    vector<int> p(n); // P[i]:[0, i-1] 之间所有元素之和; 
    for(int i = 1; i < n; ++i) // p[0] == 0 s[n-1] == 0]
        p[i] = p[i-1] + nums[i-1];

    // 预处理后缀和数组
    vector<int> s(n); // s[i]:[i+1, n-1] 之间所有元素之和
    for(int i = n - 2; i >= 0; i--)
        s[i] = s[i+1] + nums[i+1];

    // 通过前缀和/后缀和数组找到中心下标
    int i;
    for(i = 0; i <= n - 1; ++i)
    {
        if(p[i] == s[i])
            return i;
    }

    return -1;
}

---

238.除自身以外数组的乘积

思路

• 题意分析：返回数组answer，answer[i]为nums中除去自身的其余元素乘积。
• 解法：前缀积数组 + 后缀积数组
  1. 我们知道：不论是前缀和还是前缀积数组，p[i]的值代表0~i-1位置的和/积，不包括其自身。
  2. 则当我们求出数组的前缀积和后缀积后，answer[i] 即为 p[i] * s[i]。

代码

vector<int> productExceptSelf(vector<int>& nums) {
    int n = nums.size();
    vector<int> p(n), s(n);

    p[0] = s[n-1] = 1; // 边界条件
    // 构建前缀积数组
    for(int i = 1; i <= n - 1; ++i)
        p[i] = p[i-1] * nums[i-1];

    // 构建后缀积数组
    for(int i = n-2; i >= 0; --i)
        s[i] = s[i+1] * nums[i+1];

    vector<int> answer(n);
    for(int i = 0; i < n; ++i)
        answer[i] = p[i] * s[i];

    return answer;
}

---

560.和为K的子数组

思路

• 题意分析：题目要求找到和为k的子数组的个数。
• 解法一：暴力枚举
  1. 一道题如果没有思路，首先可以想暴力解法
  2. 即：用两个循环遍历所有子数组，找到和为k的
  3. 缺点：时间开销大，时间复杂度O(n^2)
• 为什么不能使用双指针（滑动窗口）？
  • 我们知道，双指针适合解决子数组问题，但其是解决连续子数组，这道题满足要求的子数组不一定连续。且数组中存在负数，也不能利用单调性使用滑动窗口。
• 解法二：前缀和 + 哈希表
  
  • 如上图所示

代码

int subarraySum(vector<int>& nums, int k) {
    int sum = 0, count = 0; // sum存储前缀和
    unordered_map<int, int> hash;
    hash[0] = 1; // 特殊情况：当子数组的第一个元素就满足条件的情况时
    for(int x : nums)
    {
        sum += x;
        // 以x为结尾的子数组，值为sum-k，则存在满足和为k的子数组
        if(hash.count(sum-k)) count += hash[sum-k];
        hash[sum]++;
    }

    return count;
}

---

974.和可被K整除的子数组

思路

• 题意分析：此题和前一题很像，只是从求和为k的子数组变成求和可被k整除的子数组的个数
• 解法：前缀和 + 哈希表
  1. 思路与之前一致，我们每次在更新前缀和sum后，更新余数r，如果哈希表中存在则更新结果
• 细节注意：同理为了防止前缀和为0的子数组满足条件，则将hash[0%k]（就是0）定为1

代码

int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k) {
    // C++,java 中负数%正数=负数
    // 为了使余数满足题目条件，余数计算为(sum % k + k) % k
    int sum = 0, count = 0;
    unordered_map<int, int> hash;
    hash[0 % k] = 1; // hash[0] = 1;
    for(int x : nums)
    {
        sum += x;
        int r = (sum % k + k) % k;
        if(hash.count(r)) count += hash[r];
        hash[r]++;
    }

    return count;
}

---

525.连续数组

思路

• 题意分析：要求找到有相同数量0和1的最长子数组
• 这道题要求我们找到最长连续子数组，但是没有直接单调性，不能使用滑动窗口解题
• 将数组中的1全部改为0，题目就转化为了：找和为0的连续最长子数组
  • 相当于将和为K的子数组改为了和为0的子数组 ，但需要注意的是，这道题要求的是最长子数组的长度：所以我们用哈希表分别存储前缀和+下标
• 解法：前缀和 + 哈希表
  • 我们每次将前缀和加入到数组中，如果已经存在，则根据长度更新结果
  • 否则将当前下标与前缀和加入到hash中
• 细节注意：因为我们计算长度是用：下标i-hash[sum]
  • 如果首位就是满足条件的，此时长度应为1
  • 即i - hash[0] = 1，此时i为0，为了保证特殊情况，我们将hash[0]设为-1

代码

int findMaxLength(vector<int>& nums) {
    int sum = 0, ret = 0;
    // 将数组中的0改为-1，题目可以演化为：求和为0的子数组
    //for(int &x : nums)  x = 0 ? -1 : x;
    unordered_map<int, int> hash; // 哈希表存放前缀和以及下标
    hash[0] = -1;
    for(int i = 0; i < nums.size(); ++i){
        sum += nums[i] == 0 ? -1 : 1; // 更新前缀和
        if(hash.count(sum)) // 前缀和sum存在 则更新ret（hash[sum] 为前缀和尾部下标, i-hash[sum] 为 连续数组长度）
            ret = max(ret, i - hash[sum]);
        else
            hash[sum] = i;
    }

    return ret;
}

---

二维前缀和 模板

1314.矩阵区域和

思路

• 题意分析：题目要求返回answer矩阵，矩阵每一位元素可以理解为是以mat的每一位为中心，向上下左右分别扩展k个单位的元素总和。

• 解法：二维前缀和
  

  

  1. 根据上面的图，我们首先用两层循环预处理前缀和矩阵
  2. 随后使用前缀和矩阵：只需要根据当前的(i, j)下标找到其向四周扩散的矩阵的左上和右下的坐标即可
  3. 根据求得的(x1, y1) (x2, y2) 以及我们算出的公式计算结果

• 需要注意的是，最好不要死记模板公式，理解了过程，做题的时候可以模拟，自然会想出来过程

代码

vector<vector<int>> matrixBlockSum(vector<vector<int>>& mat, int k) {
    int m = mat.size(), n = mat[0].size();

    // 预处理前缀和矩阵
    vector<vector<int>> dp(m+1, vector<int>(n+1)); // 扩充一行一列：对应下标
    for(int i = 1; i <= m; ++i)
        for(int j = 1; j <= n; ++j)
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] + mat[i-1][j-1] - dp[i-1][j-1];

    // 使用前缀和矩阵 构建answer
    vector<vector<int>> answer(m, vector<int>(n));
    for(int i = 0; i < m; ++i)
    {
        for(int j = 0; j < n; ++j)
        {
            // answer[0][0] 对应 dp[1][1]，把坐标+1
            int x1 = max(i-k, 0) + 1, y1= max(j-k, 0) + 1;
            int x2 = min(i+k, m-1) + 1, y2 = min(j+k, n-1) + 1;
            answer[i][j] = dp[x2][y2] - dp[x2][y1-1] - dp[x1-1][y2] + dp[x1-1][y1-1];
        }
    }

    return answer;
}