四棱锥：2016年理数全国卷C题19

四棱锥：2016年理数全国卷C题19

分值：12分

如图，四棱锥 中， 底面 , , ， 为线段 上一点，， 为 的中点.

（I）证明 //平面 ;

（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值.

2016年理数全国卷C

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【解答问题Ⅱ】

作 中点 ，连接 .

∵ , ,

∴ ,

又∵ , ∴ 是平行四边形；

又∵ ,

∴ ,

∴ 是矩形，∴ .

∵ 底面 ,

∴ .

∵ ,

∴ 平面 .

∴

∵ 是直角三角形，

记点 到平面 的距离为 ，则

∵ 平面 ，

∴ ,

∵ 为 的中点， ,

∴

直线 与平面 所成角的正弦值为 .

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【提炼与提高】

用体积公式求点与面的距离，是立体几何中的常规操作。

除了几何方法，本题用空间向量解答也是可以的。

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