java数据结构与算法刷题-----LeetCode70. 爬楼梯

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很多人觉得动态规划很难，但它就是固定套路而已。其实动态规划只不过是将多余的步骤，提前放到dp数组中（就是一个数组，只不过大家都叫它dp），达到空间换时间的效果。它仅仅只是一种优化思路，因此它目前的境地和线性代数一样----虚假的难。

1. 想想线性代数，在国外留学的学生大多数不觉得线性代数难理解。但是中国的学生学习线性代数时，完全摸不着头脑，一上来就是行列式和矩阵，根本不知道这玩意是干嘛的。
2. 线性代数从根本上是在空间上研究向量，抽象上研究线性关系的学科。人家国外的教科书都是第一讲就帮助大家理解研究向量和线性关系。
3. 反观国内的教材，直接把行列式搞到第一章。搞的国内的学生在学习线性代数的时候，只会觉得一知半解，觉得麻烦，完全不知道这玩意学来干什么。当苦尽甘来终于理解线性代数时干什么的时候，发现人家国外的教材第一节就把这玩意讲清楚了。你只会大骂我们国内这些教材，什么狗东西（以上是自己学完线性代数后的吐槽，我们同学无一例外都这么觉得）。

而我想告诉你，动态规划和线性代数一样，我学完了才知道，它不过就是研究空间换时间，提前将固定的重复操作规划到dp数组中，而不用暴力求解，从而让效率极大提升。

1. 但是网上教动态规划的兄弟们，你直接给一个动态方程是怎么回事？和线性代数，一上来就教行列式和矩阵一样，纯属恶心人。我差不多做了30多道动态规划题目，才理解，动态方程只是一个步骤而已，而这已经浪费我很长时间了，我每道题都一知半解不理解，过程及其痛苦。最后只能重新做。
2. 动态规划，一定是优先考虑重复操作与dp数组之间的关系，搞清楚后，再提出动态方程。而你们前面步骤省略了不讲，一上来给个方程，不是纯属扯淡吗？
3. 我推荐研究动态规划题目，按5个步骤，从上到下依次来分析

1. DP数组及下标含义
2. 递推公式
3. dp数组初始化
4. 数组遍历顺序（双重循环及以上时，才考虑）
5. dp数组打印，分析思路是否正确（相当于做完题，检查一下）

拿到比较抽象的题，先列出前几项结果，尝试看出问题的本质（很多比较抽象的题，本质都很简单，抓住问题的本质，那么可以做到解决1道题，扩展到解决一类问题）

1. n = 0时：结果为0
2. n = 1时：结果为1
3. n = 2时：结果为2
4. n = 3时：结果为3
5. n = 4时：结果为5

可见 这道题的规律0 1 2 3 5… 和斐波那契数列的0 1 1 2 3 5…非常像

什么是斐波那契数列？

1. 斐波那契数列：第一个值是0，第二个值是1，剩下的元素是它前两个元素和，例如：0 1 1 2 3 5… ， 可见除了最开始的两个固定为0和1外，其余每一个元素都是前两个元素的和。
2. 也就是说，这玩意一看就是固定的一套值，如果每次都重新生成，就太暴力了。
3. 动态规划的思想就是，将生成的过程，就生成一次，之后再用，直接从dp数组中拿。从而大大提升效率

解题思路

1. 暴力求解的思想，就是定义3个或者2个变量，然后累加，以获得指定位置的斐波那契数。每次都需要从头开始累加
2. 但是如果我们预先将其存储到dp数组，就可以直接通过dp[x], 获取dp数组中指定位置x的对应斐波那契数，而不用每次都从头计算。
3. 但是这道题，从第4个元素开始，才符合斐波那契数列的规则，因此我们这道题，可以用斐波那契数列思想，但不能照搬
4. 可见这道题，前3个为固定值 0 1 2 ，剩下的都是当前元素的前两项的和。

动态规划思考5步曲

1. DP数组及下标含义

DP数组存储我们分析的类似斐波那契数列的数列，这个数列是一维线性的，所以只需一维数组存储。下标代表数在数列中的位置。dp[0] = 0,dp[1] = 1,dp[2]=2是头三个固定值（斐波那契数列头两个是固定值），dp[3]开始，每个元素是前两个数组元素的和。即可生成对应数列的dp数组。

2. 递推公式

既然知道了DP数组就是存储的类似斐波那契数列的数列，那么递推公式，很显然就是当前元素=前两个元素的和。F(n) = F(n-1)+F(n-2)。 而且F(0) = 0,F(1)=1,F(2) = 2这是这个数列的特性，前三个值固定为0,1,2.

3. dp数组初始化

4. 数组遍历顺序（因为这个数列是一维的，只需要一重循环，无需考虑这个）
5. 打印dp数组（自己生成dp数组后，将dp数组输出看看，是否和自己预想的一样。）

代码

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        int length = n>=3?n:3;//避免n给的太小，例如n < 3时，下面的dp[2] = 2; 这条代码会下标越界
        //初始化DP数组，一维数组即可，头3个元素固定为0,1,2
        int dp[] = new int[length+1]; dp[0] = 0; dp[1] = 1;dp[2]=2;
        //其余元素为它的前两个元素的和
        for(int i = 3;i<=n ; i++){
            dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
}