算法导论复习——CHP3 函数的增长

        研究算法的渐进效率，给出算法运行时间随问题规模的变化关系，给出时间 / 空间复杂度限界函数的定义，引入渐进记号。

记算法的实际执行时间为f(n)，分析所得的限界函数为g(n)。其中，

n ：问题规模的某种测度。

f(n) ：是与机器及语言有关的量。

g(n) ：是事前分析的结果，一个形式简单的函数，与频率计数有关、 而与机器及语言无关。

限界函数

        上界函数

        O(g(n))表示一下函数集合：

        这里"="不是常规意义上的相等。

        若f(n)和g(n)满足以上关系，则记为f(n)∈Ο(g(n))，表示 f(n) 是集合 Ο(g(n)) 的成员。并通常记作 f(n) = Ο(g(n))。

        上界函数代表了最坏情况的复杂度，使用时往往使用紧确的上界函数，例如：

        若：是松散的界限；

        而：是紧确的界限。

        下界函数

        类似地， 下界函数 Ω( g(n) ) 表示以下函数集合：

        各性质与上界函数类似。

        渐进紧确界

        Θ(g(n))表示以下函数的集合：

        充要替换：f(n) = Ω( g(n) ) 且 f(n) = Ο( g(n) ）

        因为任意常量都可看做是一个 0 阶多项式，所以可以把任意常量函数表示成或。         通常用表示具有常量计算时间的复杂度，即算法的执行时间为一个固定量，与问题的规模n没关系。 

证明是/不是上界/下界/渐进紧确界：

        是：列出定义不等式，找常数、、。

        不是：反证法。

        等式和不等式中的渐进记号：

                用来代表我们不关注名称的匿名函数，用以消除一些无关紧要的细节。

        这些细节存在但不被特别关注，分析时还是只对 T(n) 的渐进行为感兴趣。渐进记号仅代表低阶项部分，在实际化简的过程中，要根据需要予以“具体化” ，然后再进行化简处理。

        o,ω记号

        专门用来表示一种非渐进紧确的上界或下界。

        o：对任意正常数c，存在常数 ＞0，使对所有的 n ≥ ， 有|f(n)| ≤ c|g(n)|，则记作：f(n) = o(g(n))。

        ω：对任意正常数c，存在常数＞0，使对所有的n≥， 有c|g(n)|≤|f(n)| ，则记作：f(n) = ω(g(n))。

        运算性质

•         传递性：（本质是∈的传递性）

•         自反性：如
•         对称性：
•         转置对称性： 

         限界函数的计算

        定理：

        多项式定理：若是一个n的m次多 项式，则有 A(n) = Ο()

        对于任意正实数 x 和 ε ，有下面的不等式：

        1) 存在某个 ,使得对于任何n ≥ ,有< 

        2) 存在某个,使得对于任何n ≥ ，有 < 。

        3) 存在某个 ,使得对于任何n ≥ ，有 < n。

        4) 存在某个 ,使得对于任何n ≥ ，有 < 。

        5) 对任意实数y ,存在某个，使得对于任何n≥n0， 有 <

        Ο() <  Ο(n!) < Ο()