高中奥数 2021-11-19

2021-11-19-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的概念及代数运算 P006 例5）

已知两个复系数函数

其中,和均为实数.若的所有根的平方的相反数是的全部根,求证:是实数.

分析与解

设方程的个根为,则知方程的个根为,于是,有

从而

(1)

因为,

所以.(2)

由题设条件知、均是实数,注意到等式(1),可知亦是实数,从而(2)式的右端为实数.也即为实数,证毕.

注

考虑是本题的关键,它建立了与的一个关系.

2021-11-19-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的概念及代数运算 P007 例6）

设、、分别是复数,,对应的不共线的三点(、、都是实数).证明:曲线与中平行于的中位线只有一个公共点,并求出此点.

分析与解

设、分别为、的中点,则、对应的复数分别为,.

于是,线段上的点对应的复数满足

代入曲线方程

对比两边实部和虚部,得

$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{3}{4}-\dfrac{\lambda}{2}=\sin ^{2} t \cos ^{2} t+\sin ^{4} t, \\ \dfrac{1}{2}[\lambda a+b+\left(1-\lambda\right) c]=a \cos ^{4} t+2 b \sin ^{2} t+c\sin^{4}t. \end{array}\right.$

两式中消去,得
$\begin{aligned} \dfrac{3}{4}(a-c)+\dfrac{b+c}{2} &=a \cos ^{4} t+(2 b+a-c) \sin ^{2} t \cos ^{2} t+a \sin ^{4} t \\ &=a\left(1-2 \sin ^{2} t \cos ^{2} t\right)+(2 b+a-c) \sin ^{2} t \cos ^{2} t \\ &=a+\left(2 b-a-c\right) \sin ^{2} t \cos ^{2} t . \end{aligned}$

于是.

若,则,因此、、三点共线,与假设矛盾!

所以,故,从而,即,.

故,即有.

这表明曲线与的平行于的中位线只有一个交点,这个交点对应的复数为

2021-11-19-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的概念及代数运算 P008 例7）

设,,是的平方根的实部,求证:.

分析与解

设是的平方根,由

得,.(1)

用反证法,假设,则,由此推出.(2)

由(1)、(2),可得,这与柯西不等式相矛盾!

故,证毕.

2021-11-19-04

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数的概念及代数运算 P009 例8）

是否存在,使对一切复数恒成立?

分析与解

结论是否定的用反证法,假设存在一个,使题中的等式成立.

特别地,取得

$\begin{aligned} 8+8 \mathrm{i} &=(\mathrm{i}-\tan \theta)(\mathrm{i}-\tan 3 \theta)=\mathrm{i}(1+\mathrm{i} \tan \theta) \cdot \mathrm{i}(1+\mathrm{itan} 3 \theta) \\ &=-\frac{(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta)(\cos 3 \theta+\mathrm{i} \sin 3 \theta)}{\cos \theta \cos 3 \theta}\\&=-\frac{\cos 4 \theta+\mathrm{i} \sin 4 \theta}{\cos \theta \cos 3 \theta}.\left(*\right) \end{aligned}$

从而,有,.

比较(*)式的实部,便有

即有

将代入上式,显然左端是有理数,而右端是无理数,矛盾.

故不存在这样的,使等式恒成立.

高中奥数 2021-11-19

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