高中奥数 2021-09-16

2021-09-16-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆的初步 P045 习题07）

设为内一点,且满足,,、分别是边、的中点.若,证明:、、三点共线.

证明

如图,作的外接圆,延长交于点,连结、.

图1

因为,,所以,,.

又、分别为、的中点,则.

由、、、四点共圆,故.

因为为的中点,所以,.

故、、三点共线.

2021-09-16-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆的初步 P045 习题08）

设圆和直线不相交,是圆的直径,且垂直于直线,点比点更靠近直线.在圆上任意取一点,直线交直线于点,直线与圆切于点,且点、在的同一侧.设交直线于点,交圆于点.证明:点关于的对称点在直线上.

证明

如图,设交圆于点.

图2

因为直径,所以,问题等价于证明.

设,垂足为点,则.

所以,、、、四点共圆.

于是.

从而,.

又因为,所以,.

于是,.

故.