微积分学习笔记-中值定理和基本定理

定理2 定积分的中值定理

如果f在上连续，则在中的某点c

例1 求在上的平均值和给定区间f恰取这个值的点。

所求的点为

例2 零平均值

证明: 如果f是上的连续函数，, 又,则在上至少有一次
f在的平均值是

根据定理2， f在 的某个点c取这个值。

定理3 微积分基本定理，部分1

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如果f在[a,b]连续，则函数

在[a, b]的每个点有导数，且

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例3 利用基本定理求

和
解:

例4 结合链式法则应用基本定理

若, 求
解: 设,使得y由
和
复合而成，因此必须用链式法则求.

例5. 求.

2. 
   例6. 求一个函数,它有导数
   并且满足f(3)=6.
   解:基本定理使得易于构造导数的函数
   。
   因为y(3)=0,可以构造出
   

定理3 微积分基本定理，部分2

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如果f在[a, b]的每个点连续，而F是f在[a, b]的任何一个反函数，则
.
基本定理的这一部分称为积分求值定理。

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怎么求

1. 求f的一个反导数F。
2. 计算F(b)-F(a)
   这个数就是.

例7. 用反导数求

解:

积分求值记号

F(b) - F(a)的通用记号是
或

如何求总面积？

1. 用f的零点分割
2. 在每个子区间上积分f
3. 把积分的绝对值相加

例8. 求x轴和的图像之间的面积。
解, 得
(-1, 0)区间上，f(x)>0; （0,2)区间上，f(x) < 0.
总面积=
=
=