时间复杂度

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**分析一个算法的好坏，时间复杂度是一个很重要的标准。那么什么是时间复杂度呢？**

举个栗子，

A和B要从同一个起点X出发，去目的地Y，从X到Y有很多种方式。A选择步行过去，B选择打车过去。那么通常情况下，B会比A先到目的地Y。

这个例子中，从X到Y就是程序需要实现的功能，而步行和打车相当于两种不同的算法，但是这两种算法实现的功能是一样的。显然这两种不同的算法为了实现同一个功能花费的时间是不同的。

在计算机科学中，时间复杂度，就是这样一个定性地描述该算法运行时间的指标。时间复杂度通常用大写的‘O’表示。

常见的算法时间复杂度有（从小到大排）：

O(1)常数阶

计算时间复杂度可分为递归和非递归两种：

举一个简单的例子：计算斐波那契数列 f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n<=45)

很多人第一眼看到这个问题，觉得用递归十分方便，便毫不犹豫的用了递归，其实当我们计算一下这个问题的时间复杂度之后，我们会发现使用递归时存在一个很大的问题。

如果我们使用递归的方式，那么我们设进入一次递归为一个基本操作，进行一个基本操作为一个单位的时间1。

那么当计算f(3)时候，如下图:


我们消耗的时间为T(3)=T(2)+T(1)+1，加1是因为除了f(2)和f(1)消耗的时间外，计算f(3)进入递归也消耗了1单位时间。

故运算完f(n)所花费时间为，T(n) = T(n-1) + T(n-2) + 1

变形，(T(n) + 1) = (T(n-1) + 1) + (T(n-2) + 1)

令B(n) = T(n) + 1，

得B(n) = B(n-1) + B(n-2)

可见B(n)也是一个斐波那契数列，

所以时间复杂度T(n) = B(n) - 1，实际消耗如下图，


就这样，最顶层消耗由f(n-1)和f(n-2)的消耗时间T(n-1)和T(n-2)组成，每层都是一分为二，二分为四，因为n的范围是n<=45，当n达到45时，上述计算的节点达到恐怖的(2^44)这个级别（系数可忽略不计）。这是不可想象的，因为递归的过程中进行了大量的无用的重复运算。

如果我们采用非递归的方法递推的话，十分简单，时间复杂度为O(n)。样例代码如下：

    for(int i = 3; i <= n; i++)

    {

      f[i] = f[i-1] + f[i-2]

    }

消耗节点如下：


最终只执行了(n)这个级别的次数。

所以在解题码代码之前，进行时间复杂度的分析是非常重要的。