【代数学作业4-汇总版】范数与迹

【代数学作业4】范数与迹

  • 写在最前面
  • 1. 极小多项式
    • 1. 对 α \alpha α 的极小多项式
    • 2. 对 α + 1 \alpha + 1 α+1 的极小多项式
    • 3. 对 α 2 + α + 1 \alpha^2 + \alpha + 1 α2+α+1 的极小多项式
  • 2. 范数 N N N
  • 3. 数域 K K K 的范数 N K N_K NK
  • 4. 迹 T T T
  • 5. 数域 K K K 的迹 T K T_K TK

写在最前面

【代数学作业4-汇总版】范数与迹_第1张图片

汇总版,省略了中间试错的过程与步骤

1. 极小多项式

1. 对 α \alpha α 的极小多项式

  1. 表达式变换:设 f ( x ) = x − α = x − 2 3 − − 2 f(x) = x - \alpha = x - \sqrt[3]{2} - \sqrt{-2} f(x)=xα=x32 2
  2. 消去根号
    • 首先处理 2 3 \sqrt[3]{2} 32

    • 然后处理 − 2 \sqrt{-2} 2 ,通过平方两边来消除根号:

    • 因此, α \alpha α 的极小多项式为 f ( x ) = x 6 + 6 x 4 − 4 x 3 + 12 x 2 + 24 x + 12 f(x) = x^6 + 6x^4 - 4x^3 + 12x^2 + 24x + 12 f(x)=x6+6x44x3+12x2+24x+12


和手动计算结果一致

【代数学作业4-汇总版】范数与迹_第2张图片

2. 对 α + 1 \alpha + 1 α+1 的极小多项式

【代数学作业4-汇总版】范数与迹_第3张图片

α + 1 \alpha + 1 α+1 的极小多项式,该多项式是:

f ( x ) = x 6 − 6 x 5 + 21 x 4 − 48 x 3 + 75 x 2 − 42 x + 11 f(x) = x^6 - 6x^5 + 21x^4 - 48x^3 + 75x^2 - 42x + 11 f(x)=x66x5+21x448x3+75x242x+11

3. 对 α 2 + α + 1 \alpha^2 + \alpha + 1 α2+α+1 的极小多项式

【代数学作业4-汇总版】范数与迹_第4张图片

该多项式是: f ( x ) = x 6 + 6 x 5 + 9 x 4 + 176 x 3 + 615 x 2 − 1062 x + 387 f(x) = x^6 + 6x^5 + 9x^4 + 176x^3 + 615x^2 - 1062x + 387 f(x)=x6+6x5+9x4+176x3+615x21062x+387

2. 范数 N N N

【代数学作业4-汇总版】范数与迹_第5张图片

结果如下:

  1. N ( 2 ) N(2) N(2) 的范数为 2 2 2
  2. N ( 2 3 ) N(\sqrt[3]{2}) N(32 ) 的范数为 2 2 2
  3. N ( − 2 ) N(\sqrt{-2}) N(2 ) 的范数为 2 2 2
  4. N ( α ) N(\alpha) N(α) (其中 α = 2 3 + − 2 \alpha = \sqrt[3]{2} + \sqrt{-2} α=32 +2 )的范数为 12 12 12
  5. N ( α + 5 ) N(\alpha + 5) N(α+5) 的范数为 20067 20067 20067
  6. N ( 2 3 − 2 + 1 ) N(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1) N(32 2 +1) 的范数为 33 33 33

3. 数域 K K K 的范数 N K N_K NK

【代数学作业4-汇总版】范数与迹_第6张图片

  1. N K ( 2 ) N_K(2) NK(2)
    2 2 2 是一个有理数,其最小多项式是 x − 2 x - 2 x2。因此, N K ( 2 ) N_K(2) NK(2) 是这个多项式的根 2 2 2 的乘积,即 2 6 = 64 2^6 = 64 26=64(因为 α \alpha α 的最小多项式是六次的)。

  2. N K ( 2 3 ) N_K(\sqrt[3]{2}) NK(32 )
    2 3 \sqrt[3]{2} 32 的共轭在 K K K 中有三个(因为它的最小多项式是三次的),包括 2 3 \sqrt[3]{2} 32 , 2 3 ω \sqrt[3]{2}\omega 32 ω, 和 2 3 ω 2 \sqrt[3]{2}\omega^2 32 ω2(其中 ω \omega ω 是三次单位根)。在 K K K 中,我们需要考虑六个共轭,所以 N K ( 2 3 ) = ( 2 3 ) 3 × ( 2 3 ) 3 = 2 2 = 4 N_K(\sqrt[3]{2}) = (\sqrt[3]{2})^3 \times (\sqrt[3]{2})^3 = 2^2 = 4 NK(32 )=(32 )3×(32 )3=22=4

  3. N K ( − 2 ) N_K(\sqrt{-2}) NK(2 )
    − 2 \sqrt{-2} 2 的共轭在 K K K 中有两个(因为它的最小多项式是二次的),包括 − 2 \sqrt{-2} 2 − − 2 -\sqrt{-2} 2 。在 K K K 中,我们需要考虑六个共轭,所以 N K ( − 2 ) = ( − 2 ) 2 × ( − 2 ) 2 × ( − 2 ) 2 = ( − 2 ) 3 = − 8 N_K(\sqrt{-2}) = (\sqrt{-2})^2 \times (\sqrt{-2})^2 \times (\sqrt{-2})^2 = (-2)^3 = -8 NK(2 )=(2 )2×(2 )2×(2 )2=(2)3=8

  4. N K ( 2 ) = 64 N_K(2) = 64 NK(2)=64

  5. N K ( 2 3 ) = 4 N_K(\sqrt[3]{2}) = 4 NK(32 )=4

  6. N K ( − 2 ) = − 8 N_K(\sqrt{-2}) = -8 NK(2 )=8

  7. N K ( α + 5 ) N_K(\alpha + 5) NK(α+5)的结果是一个复数表达式: ( 2 3 + 5 + 2 i ) 6 (\sqrt[3]{2} + 5 + \sqrt{2}i)^6 (32 +5+2 i)6

  8. N K ( 2 3 − 2 + 1 ) N_K(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1) NK(32 2 +1)的结果也是一个复数表达式: ( 1 + 1.12246204830937 2 i ) 6 (1 + 1.12246204830937\sqrt{2}i)^6 (1+1.122462048309372 i)6

4. 迹 T T T

首先,找出 α \alpha α 的共轭元素。这涉及解决 f ( x ) = 0 f(x) = 0 f(x)=0 的方程,但这个方程过于复杂,无法用简单的代数方法解决。
然而,由于 α \alpha α f ( x ) f(x) f(x) 的一个根,我们知道至少有六个共轭元素(包括 α \alpha α 本身),它们可能是实数或复数。
T ( a ) T(a) T(a) 是所有共轭元素的和。对于简单的元素如 2 2 2 2 3 \sqrt[3]{2} 32 ,这些值在共轭元素下的表达式是明确的。
对于 α \alpha α 和更复杂的表达式,这些值将取决于 α \alpha α 的具体共轭元素。

  1. T ( 2 ) T(2) T(2)
    由于 2 2 2 是一个常数,它在每个共轭元素下的值都是 2 2 2
    因此, T ( 2 ) T(2) T(2) 2 2 2 与共轭元素的数量(这里是 6)的乘积:
    T ( 2 ) = 2 × 6 = 12 T(2) = 2 \times 6 = 12 T(2)=2×6=12

  2. T ( 2 3 ) T(\sqrt[3]{2}) T(32 )
    同样, 2 3 \sqrt[3]{2} 32 是一个常数,所以 T ( 2 3 ) T(\sqrt[3]{2}) T(32 ) 2 3 \sqrt[3]{2} 32 与共轭元素的数量的乘积:
    T ( 2 3 ) = 2 3 × 6 T(\sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{2} \times 6 T(32 )=32 ×6

  3. T ( − 2 ) T(\sqrt{-2}) T(2 )
    由于 − 2 \sqrt{-2} 2 是一个常数,其迹是:
    T ( − 2 ) = − 2 × 6 T(\sqrt{-2}) = \sqrt{-2} \times 6 T(2 )=2 ×6

【代数学作业4-汇总版】范数与迹_第7张图片

  1. T K ( 2 ) = 12 T_K(2) = 12 TK(2)=12
  2. T K ( 2 3 ) = 6 2 3 T_K(\sqrt[3]{2}) = 6\sqrt[3]{2} TK(32 )=632
  3. T K ( − 2 ) T_K(\sqrt{-2}) TK(2 )的结果是一个纯虚数: 6 2 i 6\sqrt{2}i 62 i
  4. T K ( α ) T_K(\alpha) TK(α)的结果是一个复数: 6 2 3 + 6 2 i 6\sqrt[3]{2} + 6\sqrt{2}i 632 +62 i
  5. T K ( α + 5 ) T_K(\alpha + 5) TK(α+5) 的结果也是一个复数: 6 2 3 + 30 + 6 2 i 6\sqrt[3]{2} + 30 + 6\sqrt{2}i 632 +30+62 i
  6. T K ( 2 3 − 2 + 1 ) T_K(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1) TK(32 2 +1) 的结果也是一个复数: 6 + 6 ⋅ 2 5 / 6 i 6 + 6 \cdot 2^{5/6}i 6+625/6i

5. 数域 K K K 的迹 T K T_K TK

对于第5题,既然 α = 2 3 + − 2 \alpha = \sqrt[3]{2} + \sqrt{-2} α=32 +2 ,那么数域 K = Q ( α ) K = \mathbb{Q}(\alpha) K=Q(α) 实际上是 α \alpha α 的极小多项式的分裂域。这意味着在这个特定情况下,计算元素的迹和计算它在数域 K K K 中的迹是相同的过程。
因此,第5题和第4题的答案相同。

  1. T K ( 2 ) = 12 T_K(2) = 12 TK(2)=12
  2. T K ( 2 3 ) = 6 2 3 T_K(\sqrt[3]{2}) = 6\sqrt[3]{2} TK(32 )=632
  3. T K ( − 2 ) T_K(\sqrt{-2}) TK(2 )的结果是一个纯虚数: 6 2 i 6\sqrt{2}i 62 i
  4. T K ( α ) T_K(\alpha) TK(α)的结果是一个复数: 6 2 3 + 6 2 i 6\sqrt[3]{2} + 6\sqrt{2}i 632 +62 i
  5. T K ( α + 5 ) T_K(\alpha + 5) TK(α+5) 的结果也是一个复数: 6 2 3 + 30 + 6 2 i 6\sqrt[3]{2} + 30 + 6\sqrt{2}i 632 +30+62 i
  6. T K ( 2 3 − 2 + 1 ) T_K(\sqrt[3]{2}\sqrt{-2}+1) TK(32 2 +1) 的结果也是一个复数: 6 + 6 ⋅ 2 5 / 6 i 6 + 6 \cdot 2^{5/6}i 6+625/6i

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