图的应用之最小生成树

一、基本概念

由于生成树的定义可知，无向连通图的生成树不是唯一的。连通图的一次遍历所经过的边的集合及图中所有顶点的集合就构成了该图的一棵生成树，对连通图的不同遍历，就可能得到不同的生成树。对于有n个顶点的无向连通图，无论其生成树的形态如何，所有生成树中都有且仅有n-1条边。

如果无向连通图是一个网，那么，它的所有生成树中必有一棵生成树的边的权值总和最小，称这样的一棵生成树为最小代价生成树（Minimum Cost Spanning Tree），简称最小生成树（MST）。一棵生成树的代价就是树中所有的边的代价之和。最小生成树的概念可以应用到许多实际问题中。例如，以尽可能低的总价建造城市间的通信网络，把十个城市联系在一起。在这十个城市中，任意两个城市之间都可以建造通信线路，通信线路的造价依据城市间的距离不同而不同，可以构造一个通信线路造价网络，在网络中，每个顶点表示城市，顶点之间的边表示城市之间可构造通信线路，每条边的权值表示该条通信线路的造价，要想使总的造价最低，实际上就是寻找该网络的最小生成树。

连通图的生成树定义

如上图所示只有图2满足条件。

其实这个问题并不是求解2点间的最短距离，而是设计一个路线，能覆盖所有的顶点。

当然方案有很多种：如下

有没有什么方案能求出最优的路径呢？下面我们介绍两种算法

二、普利姆（Prim）算法

假设G =（V，E）为一连通网，其中V为网中所有顶点的集合，E为网中所有带权边的集合。设置两个新的集合U和T，其中集合U用于存放G的最小生成树中的顶点，集合T存放G的最小生成树中的边。令集合U的初值为U={u1}（假设构造最小生成树时，从顶点u1出发），集合T的初值为T={}。Prim算法的思想是，从所有u包含U，u包含V-U的边中，选取具有最小权值的边（u，v），将顶点v加入集合U中，将边（u，v）加入集合T中，如此不断重复，直到U=V时，最小生成树构造完毕，这时集合T中包含了最小生成树的所有边。
Prim算法可用下述过程描述，其中用wuv表示顶点u与顶点v边上的权值。

1、U ={U1},T={};
2、while(U=!V)do
 (u,v) =min{wun;u包含U，v包含V-U}
 T =T+{(u,v)}
 U=U+{V}
 3、结束

代码如下：

* Prim算法生成最小生成树 */
void MiniSpanTree_Prim(MGraph G)
{
    int min, i, j, k;
    int sum = 0;
    /* 保存相关顶点下标 */
    int adjvex[MAXVEX];
    /* 保存相关顶点间边的权值 */
    int lowcost[MAXVEX];
    
    /* 初始化第一个权值为0，即v0加入生成树 */
    /* lowcost的值为0，在这里就是此下标的顶点已经加入生成树 */
    lowcost[0] = 0;
    
    /* 初始化第一个顶点下标为0 */
    adjvex[0] = 0;
    
    //1. 初始化
    for(i = 1; i < G.numVertexes; i++)    /* 循环除下标为0外的全部顶点 */
    {
        lowcost[i] = G.arc[0][i];    /* 将v0顶点与之有边的权值存入数组 */
        adjvex[i] = 0;                    /* 初始化都为v0的下标 */
    }
    
    //2. 循环除了下标为0以外的全部顶点, 找到lowcost数组中最小的顶点k
    for(i = 1; i < G.numVertexes; I++)
    {
        /* 初始化最小权值为∞， */
        /* 通常设置为不可能的大数字如32767、65535等 */
        min = INFINITYC;
        
        j = 1;k = 0;
        while(j < G.numVertexes)    /* 循环全部顶点 */
        {
            /* 如果权值不为0且权值小于min */
            if(lowcost[j]!=0 && lowcost[j] < min)
            {
                /* 则让当前权值成为最小值,更新min */
                min = lowcost[j];
                /* 将当前最小值的下标存入k */
                k = j;
            }
            j++;
        }
        
        /* 打印当前顶点边中权值最小的边 */
        printf("(V%d, V%d)=%d\n", adjvex[k], k ,G.arc[adjvex[k]][k]);
        sum+=G.arc[adjvex[k]][k];
        
        /* 3.将当前顶点的权值设置为0,表示此顶点已经完成任务 */
        lowcost[k] = 0;
        
        /* 循环所有顶点,找到与顶点k 相连接的顶点
         1. 与顶点k 之间连接;
         2. 该结点没有被加入到生成树;
         3. 顶点k 与 顶点j 之间的权值 < 顶点j 与其他顶点的权值,则更新lowcost 数组;
         
         */
        for(j = 1; j < G.numVertexes; j++)
        {
            /* 如果下标为k顶点各边权值小于此前这些顶点未被加入生成树权值 */
            if(lowcost[j]!=0 && G.arc[k][j] < lowcost[j])
            {
                /* 将较小的权值存入lowcost相应位置 */
                lowcost[j] = G.arc[k][j];
                /* 将下标为k的顶点存入adjvex */
                adjvex[j] = k;
            }
        }
    }
    printf("sum = %d\n",sum);
}

第一次执行：

第二次执行：

在上述算法中，第一个for循环的执行次数为n-1，第二个for循环中又包含了一个while循环和一个for循环，执行次数为2（n-1）²，所以Prim算法的时间复杂度为O(n²）。

三、克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

Kruskal算法基本思想如下：设G=(V, E)是连通网，集合T存放G的最小生成树中的边。初始时，最小生成树中已经包含G中的全部顶点，集合T的初值为T={}，这样每个顶点就自成一个连通分量。最小生成树的生成过程是，在图G的边集E中按权值自小至大依次选择边（u, v），若该边端点u、v分别属于当前两个不同的连通分量，则将该边（u, v）加入到T，由此这两个连通分量连接成一个连通分量，整个连通分量数量就减少了一个；若u、v是当前同一个连通分量的顶点，则舍去此边，继续寻找下一条两端不属于同一连通分量的权值最小的边，依此类推，直到所有的顶点都在同一个连通分量上为止。这时集合T中包含了最小生成树的所有边。算法描述如下：

T={};
while(T中的边数

代码如下：

/* 生成最小生成树 */
void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)
{
    int i, j, n, m;
    int sum = 0;
    int k = 0;
    /* 定义一数组用来判断边与边是否形成环路
     用来记录顶点间的连接关系. 通过它来防止最小生成树产生闭环;*/
    
    int parent[MAXVEX];
    /* 定义边集数组,edge的结构为begin,end,weight,均为整型 */
    Edge edges[MAXEDGE];
    
    /*1. 用来构建边集数组*/
    for ( i = 0; i < G.numVertexes-1; I++)
    {
        for (j = i + 1; j < G.numVertexes; j++)
        {
            //如果当前路径权值 != ∞
            if (G.arc[i][j] 0)
    {
        f = parent[f];
    }
    return f;
}

第一次执行：

第二次执行：

中间的几次就不在这一一列出了，当执行到可能出现的回路时：

依次继续这行直到所有边循环完毕。