【算法基础15】如何求约数？约数个数？约数之和？最大公约数？

一、试除法求约数

        主要思想：由于当n/a=b时，a和b都是n的约数，即约数总是成对出现，可以在一次循环中同时找到i和n/i两个约数，只需要循环n/i次就能找到所有约数。

        

        例题：求一个数的所有约数，并将它们按大小排序。

vector get_divisors(int n){
	vector res;

	for(int i=1;i<=n/i;i++){//只循环n/i次
		if(n%i==0){//找到约数
			res.push_back(i);
			if(n/i!=i) res.push_back(n/i);//存入与i成对的那个约数
		}
	}
	sort(res.begin(),res.end());//排序
	return res;
}

二、约数个数

        主要思想：将数n分解成  ，数n的所有约数个数即为的所有组合个数，可以用公式……求得。而分解过程即为在求一个数的所有质因子（详见【算法基础14】）算法上稍加改动，在存储质因子的同时存储该质因子的幂。

        例题：给出由n个数，求它们的乘积的约数个数。

#include
#include
#include
#include
using namespace std;

typedef long long LL;

int main(){
	int n;
	cin>>n;
	
	unordered_map primes;//用哈希图存储质因子和它对应的幂

	while(n--){
		int x;
		cin>>x;
		
		for(int i=2;i<=x/i;i++){//求质因子
			while(x%i==0){
				x/=i;
				primes[i]++;//该p对应的a++
			}			
		}
		if(x>1) primes[x]++;//处理大于x/i的那个质因子
	}
	
	LL res=1;
	for(auto prime:primes){
		res=res*(prime.second+1);//代入公式计算
	} 
	
	cout<

三、约数的和

        主要思想：由，约数之和即为的组合个数的和，可以j将约数之和分解成。

        例题：给出由n个数，求它们的乘积的约数之和。

#include
#include
#include
#include
using namespace std;

typedef long long LL;

int main(){
	int n;
	cin>>n;
	
	unordered_map primes;
	while(n--){
		int x;
		cin>>x;
		
		for(int i=2;i<=x/i;i++){//分解
			while(x%i==0){
				x/=i;
				primes[i]++;
			}			
		}
		if(x>1) primes[x]++;
	}
	
	LL rsum=1;
	for(auto prime:primes){	
		int p=prime.first,a=prime.second;//pi和ai
		LL t=1;
		while(a--) t=t*p+1;//循环a次后，得p0+p1+...+p6
		sum=sum*t;
	} 
	
	cout<

四、辗转相除法（欧几里得算法）求最大公约数

        主要思想：求a和b的最大公约数可以转化为求b和a%b的最大公约数，不断递归转化到求a和0的最大公约数，则答案为a。

        例题：给出两个数，求它们的最大公约数。

int gcd(int a,int b){
	return b?gcd(b,a%b):a;//如果b不为0，则返回gcd(b,a%b)，否则返回a
}

 五、扩展欧几里得算法

         主要思想：由裴蜀定理（对于任意正整数a,b，一定存在非零整数x,y,使得ax+by=a和b的最大公约数。）求a和b的构造系数x,y。

        推导过程：

                ​​​​​​​      

        

        代码实现：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){
		x=1,y=0;//b=0时，a*1+0=a
		return a;
	}
	int d=exgcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;//由推导更新系数
	return d;
}

        

        应用：求解同余方程。同余方程可以转化为裴蜀定理的形式，只要b是a和m的最大公约数的倍数，则同余方程一定有解，代入扩展欧几里得算法，x*(b/d)%m即为同余方程的解。

        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​