[算法笔记]NPC问题证明sample

前言

关于一些具体细节可以看我这篇博文NPC问题证明

一些概念

先问大家几个问题，帮助大家理解一些概念

1. There exists a polynomial time reduction from 3SAT to Palindrome Checking. Assume that Palindrome Checking is a program that verifies if a given word is a palindrome or not.
   Note: A palindrome is a word that reads the same forwards as well as backwards. For example,
   “CS17071SC” is a palindrome, but “CS170” is not
2. There exists a polynomial time reduction from any NP hard problem to any other NP hard problem
3. There exists a polynomial time reduction from Palindrome Checking to 3SAT
   想一下这几个问题的答案，或者说他们在什么情况下是对的，什么情况下是错的。下面我们来揭晓答案

1.首先关于回文检测显然可以在多项式时间内确认，所以回文检测是NP的，3SAT是一个NPC问题。回归到NPC问题的定义，NPC问题是可以在多项式时间内将NP问题归约为的问题。这并不符合NPC问题的定义，显然无法保证。但是这在NP=P的时候是对的，因为NPC问题是NP问题，而NP问题的定义是P问题可以在多项式时间内归约为的问题。所以3SAT是P问题，故3SAT可以在多项式时间内归约为回文检测问题。
为了方便大家理解，给大家一张图

下一级可以在多项时间内归约到上一级。除了P问题和NP问题有原始的·定义，NPC和NPH都是从NP和P来的
2.错误，因为这不符合NPH的定义
3.对，因为NP问题可以在多项式时间内归约为NPC问题

一些例子

OK,回到正题，回顾一下我们的证明步骤。1）先证明该问题A的任意一个solution可以在多项式时间内被验证来说明这个问题是是NP问题
2）找一个NPC问题B，将该NPC问题归约为这个问题，所以这个问题是NPH问题
3）证明B有解当前仅当A问题有解
声明：以下问题来自我的作业，解法来自我和我的同学
先给大家讲一些会用到的问题的定义（来自我的cheatsheet）

Reduction to 3-Coloring

NP Basics

reduce vertex cover to dominating set

另一个解法：reduce set cover to dominating set

partition, subset sum and knapsack

另解

Orthogonal vectors

reduce vertex cover to set cover

祝大家圣诞快乐,Merry Christmas!!