高中奥数 2021-06-13

2021-06-13-01

（本题来源：数学奥林匹克小丛书第二版集合的运算刘诗雄子集族 P46 例4）

己知集合.求集合的具有下列性质的子集个数:每个子集至少含有2个元素,且每个子集中任何两个元素的差的绝对值大于1.

分析

集合有个非空子集,我们先来看看比的元素少一些的集合的情形.记集合符合条件的子集族为,.

$\begin{aligned}A_{1} &=\{1\}, A_{1}^{*}=\varnothing, a_{1}=0; \\A_{2} &=\{1,2\}, A_{2}^{*}=\varnothing, a_{2}=0; \\A_{3} &=\{1,2,3\}, A_{3}^{*}=\{\{1,3\}\}, a_{3}=1 ; \\A_{4} &=\{1,2,3,4\}, A_{4}^{*}=\{\{1,3\},\{1,4\},\{2,4\}\}, a_{4}=3 ; \\A_{5} &=\{1,2,3,4,5\}, A_{5}^{*}=\{\{1,3\},\{1,4\},\{2,4\},\{1,3,5\},\{1,5\},\{2,5\},\{3,5\}\}, a_{5}=7 .\end{aligned}$

我们来考察写出的过程,这可以分作两步:第一步写出的全部元素,它们都不含元素5;第二步写出含5的子集,它们是在的元素中添5所成,或者是含5的二元子集,即,其实对有类似的结论:,.我们可以将这个做法推广到一般.

解

设是集合的具有题设性质的子集个数.

对于集合,具有题设性质的子集可分为两类:

第一类子集不包含,它们是集合的全部具有题设性质的子集,共有个;

第二类子集包含,它们是集合的每
个具有题设性质的子集与的并集,以及二元子集,共有个.

于是,我们有

易知,因此.

所以,所求子集的个数为.

2021-06-13-02

（本题来源：数学奥林匹克小丛书第二版集合的运算刘诗雄子集族 P46 例5）

对于整数,如果存在集合的子集族满足:

(a);

(b)若,则,当且仅当;

(c)任意.

则称是“好数”.

证明:(1)7是好数;

(2)当且仅当时,是好数.

分析

对于,可以作出满足条件的子集族来验证;当时,可考虑用数学归纳法证明.

证明

(1)当时,取

即可.

(2)先证当时,是好数.对进行归纳.

由(1)知,当时,结论成立.

假设是好数,则存在子集族满足条件.对于,取子集族.由数学归纳假设易知,它们也是满足条件的。

下面证明每一个好数都至少为7.

如果是一个为好数的集合的子集族,那么,每一个至少有三个元素.事实上,若,则

所以,.矛盾.

考虑一个由元素、构成的阶正方形表格,当且仅当其第行第列的元素为1.表中对角线上的元素为0,对于余下的元素,因为,当且仅当时,所以0的个数等于1的个数.因此,表中元素的和为.又每行元素的和大于等于3,所以,故.

高中奥数 2021-06-13

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