2021-06-13-01
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合的运算 刘诗雄 子集族 P46 例4）
己知集合.求集合的具有下列性质的子集个数:每个子集至少含有2个元素,且每个子集中任何两个元素的差的绝对值大于1.
分析
集合有个非空子集,我们先来看看比的元素少一些的集合的情形.记集合符合条件的子集族为,.
我们来考察写出的过程,这可以分作两步:第一步写出的全部元素,它们都不含元素5;第二步写出含5的子集,它们是在的元素中添5所成,或者是含5的二元子集,即,其实对有类似的结论:,.我们可以将这个做法推广到一般.
解
设是集合的具有题设性质的子集个数.
对于集合,具有题设性质的子集可分为两类:
第一类子集不包含,它们是集合的全部具有题设性质的子集,共有个;
第二类子集包含,它们是集合的每
个具有题设性质的子集与的并集,以及二元子集,共有个.
于是,我们有
易知,因此.
所以,所求子集的个数为.
2021-06-13-02
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合的运算 刘诗雄 子集族 P46 例5）
对于整数,如果存在集合的子集族满足:
(a);
(b)若,则,当且仅当;
(c)任意.
则称是“好数”.
证明:(1)7是好数;
(2)当且仅当时,是好数.
分析
对于,可以作出满足条件的子集族来验证;当时,可考虑用数学归纳法证明.
证明
(1)当时,取
即可.
(2)先证当时,是好数.对进行归纳.
由(1)知,当时,结论成立.
假设是好数,则存在子集族满足条件.对于,取子集族.由数学归纳假设易知,它们也是满足条件的。
下面证明每一个好数都至少为7.
如果是一个为好数的集合的子集族,那么,每一个至少有三个元素.事实上,若,则
所以,.矛盾.
考虑一个由元素、构成的阶正方形表格,当且仅当其第行第列的元素为1.表中对角线上的元素为0,对于余下的元素,因为,当且仅当时,所以0的个数等于1的个数.因此,表中元素的和为.又每行元素的和大于等于3,所以,故.