不同阶数的巴特沃斯低通滤波器的空间域表示——数字图像处理

原理

巴特沃斯低通滤波器（Butterworth Low-Pass Filter）在频率域中的定义是明确的，但它在空间域中的表示不是直观的。这是因为巴特沃斯滤波器的形式是基于频率的，并且其空间域表示涉及到一个复杂的逆傅里叶变换，该变换没有一个封闭形式的解析表达。然而，我们可以通过理解其频率域的特性来间接理解其在空间域的行为。

在频率域，巴特沃斯低通滤波器的函数形式如下：

不同阶数 n 的巴特沃斯低通滤波器在空间域中的主要影响如下：

阶数 n 对平滑度的影响：

较低阶数（如 n=1）的巴特沃斯滤波器在空间域中提供较为平缓的平滑效果，边缘过渡较为柔和。
较高阶数（如 n>1）的滤波器则提供更加强烈的平滑效果，但过渡可能更为尖锐，接近理想低通滤波器的特性。
频率响应与空间响应的关系：
在频率域中，滤波器的截止频率越低，其在空间域中的作用范围越大，导致图像更加模糊。
在空间域中，滤波器的效果取决于其对图像不同频率成分的衰减方式。
空间域的表示：
理论上，可以通过逆傅里叶变换将巴特沃斯滤波器从频率域转换到空间域，但这通常不会产生一个简单的封闭形式的函数。
在实际应用中，巴特沃斯滤波器通常直接在频率域内操作，并在应用逆傅里叶变换回空间域后观察其效果。
由于巴特沃斯滤波器在空间域中没有简洁的表达式，因此在图像处理中通常在频率域内进行设计和应用，然后将处理后的结果转换回空间域以观察和利用其效果。

python实现下图

提示

不同阶数巴特沃斯低通滤波器的空间域表示。参数如下设置：阶数分别为1，2，5，20，滤波器大小均为1000×1000，截止频率均为5。仍然和上一个实验一样，生成频域的巴特沃斯低通滤波器。之后直接做傅里叶反变换得到空间域的图像表示。为了便于显示，还需要进行对数变换等，具体代码可为HSpatial =

代码实现

import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.model_selection import KFold
import scipy as sp
import matplotlib.pyplot as plt

img_list=[]
img_name_list=[]

H=np.ones((1000,1000))

for n in [1,2,5,20]:
    for i in range(1000):
        for j in range(1000):
            Duv=np.sqrt(np.power((i-1000/2),2)+np.power((j-1000/2),2))
            H[i,j]=1/(1+np.power((i-1000/2),2)+np.power((j-1000/2),2))
    HSpatital=np.log(0.00005+np.abs(np.fft.fftshift(np.fft.ifft2(H))))
    img_list.append(HSpatital)
    img_name_list.append("n="+str(n))

_,axs=plt.subplots(1,4)

for i in range(4):
    axs[i].imshow(img_list[i],cmap="gray")
    axs[i].set_title(img_name_list[i])
    axs[i].axis('off')

plt.show()

结果展示

总结

阶数高的时候高频衰减快。高于截止频率以后，n阶butterworth衰减速度是20n分贝/10倍频。但是做数字滤波的时候你会发现阶数越高系统响应越慢，如果采样间隔是t，通过一个n阶的butterworth，结果和原信号相比基本会有nt的延迟，随着阶数增大，振铃现象逐渐明显，频域的butterworth滤波器也更加接近理想滤波器。
Butterworth低通滤波器可以通过改变次数n，对过度特性进行调整。过大的n会造成振铃现象