对称群（Symmetric group）

1.

在群论中，对称群通常表示为Sₙ，其中 n 是集合中元素的个数。对称群 Sₙ 包含了集合 {1, 2, ..., n} 上所有可能的置换。就是说给定一个集合A，存储 n 个元素，Sₙ 中存储的是这 n 个元素的不同排列。（ S 就是Symmetric 的首字母）

例如，S₃ 包含以下六个置换：

1. 恒等变换：(1)(2)(3)
2. 两个元素的交换：(1 2), (1 3), (2 3)
3. 循环置换：(1 2 3)、(1 3 2)

下面这种表示容易理解，上面的例子是更简洁的循环表示法。

假设 g 是置换 (1 3 2) （表示 1→3,3→2,2→1 ），它的逆置换是 g − 1=(3 2 1) 。我们可以验证： g ∘ g −1=(132)∘(321)=(1→3→2→1)=(123)= e

2.

再有就是：

排列f和g的组成f∘g，发音为“f of g”，

在g 之后应用f首先将1映射到2，然后将2映射到自身；2到5，然后到4；3到4，然后到5，依此类推。所以f和g的组合给出

就是说函数组合是从右向左的

3.

参考：

这个笔记很好，直观的给出了定义：

https://whzecomjm.com/p/2020/07/symmetric-groups-notes/Symmetric-Groups.pdf

这个说的不错：
【群论入门】(10)： 排列与对称群 - 知乎 (zhihu.com)

比较官方：

（中文）

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E7%BE%A4_(n%E6%AC%A1%E5%AF%B9%E7%A7%B0%E7%BE%A4)

或是

（英文）

https://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_group