二次函数：2009年文数全国卷题21

2009年文科数学全国卷题21

已知函数 .

（I）设 ，求函数 的极值;

（Ⅱ）若 ，且当 时， 恒成立，试确定 的取值范围.

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【解答问题1】

,

定义域为 .

函数 单调递增；

函数 单调递减；

函数 单调递增；

当 ，函数取得极大值

当 ，函数取得极小值

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【解答问题2】

令 ，则

在区间 上单调递减；在区间 上单调递增；当 时，取得定义域内的最小值,

(1) 若 , 则在区间 内 函数 单调递增；所以

而 , 不合要求。

(2) 若 , 则 在区间 内 函数 单调递增；所以 ， 所以

解得：.

(3) 若

∵ 是函数 的对称轴，∴

即

因为 在区间 单调递增, 且 ，所以

由 可得：

解集为 .

综上所述， 的取值范围是 .

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【提炼与提高】

二次函数是中学数学的核心内容，也是高考必考。处理二次函数，对称轴是关键。

分类讨论是高中数学的重要思想方法，也是本题的重点。

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