李毓佩《数学历险记》---裂项法简算分数

李毓佩《数学历险记》—裂项法简算分数

问题描述：

计算:$$\frac{1}{1\ast 2}+\frac{1}{2\ast 3}+\frac{1}{3\ast \mathrm{４}}＋ ．．．＋\frac{1}{98\ast 99}+\frac{1}{99\ast 100}$$
$\frac{1}{1\ast 2}+\frac{1}{2\ast 3}+\frac{1}{3\ast 4}＋ ．．．＋\frac{1}{98\ast 99}+\frac{1}{99\ast 100}$
$=(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+.....+(\frac{1}{98}-\frac{1}{99})+(\frac{1}{99}-\frac{1}{100})$
$=1-\frac{1}{100}$
$=\frac{99}{100}$
把一个分数拆成两个分数相减的形式，就是裂项法，可以根据裂项工式:$$\frac{1}{a\ast b}=(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})\ast \frac{1}{b-a}$$把一个数裂项为两个分数求差，然后前后抵消求和。裂项法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，通常用于代数，分数，有时候也用于整数数列求和。

裂相法求各工式

1. $$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$$
2. $$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$$
3. $$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)})$$
4. $$\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{1}{a-b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$$
5. $$n\ast n！=(n+1)!-n!$$
6. $$\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k})$$
7. $$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$$
8. $$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+k}}=\frac{1}{k}(\sqrt{n+k}-\sqrt{n})$$

例:$\frac{1}{1\ast 2\ast 3}+\frac{1}{2\ast 3\ast 4}+\frac{1}{3\ast 4\ast 5}＋...+\frac{1}{97\ast 98\ast 99}+\frac{1}{98\ast 99\ast 100}$

$=\frac{1}{2}(\frac{1}{1\ast 2}-\frac{1}{2\ast 3}+\frac{1}{2\ast 3}-\frac{1}{3\ast 4}+\frac{1}{3\ast 4}-\frac{1}{4\ast 5}+.....+\frac{1}{97\ast 98}-\frac{1}{98\ast 99}+\frac{1}{98\ast 99}-\frac{1}{99\ast 100})$
$=\frac{1}{2}(\frac{1}{1\ast 2}-\frac{1}{99\ast 100})$
$=\frac{4949}{19800}$