专题一：递推与递归

递归

 例题

 递归实现指数型枚举

从 1∼n这 n个整数中随机选取任意多个，输出所有可能的选择方案。

输入格式

输入一个整数 n。

输出格式

每行输出一种方案。

同一行内的数必须升序排列，相邻两个数用恰好 1 个空格隔开。

对于没有选任何数的方案，输出空行。

各行（不同方案）之间的顺序任意。

数据范围

1≤n≤15

输入样例：

3

输出样例：

3
2
2 3
1
1 3
1 2
1 2 3

import java.util.*;
public class Main{
    static int N=16;
    static int n;
    static int []st=new int[N];    //表状态，0表示未考虑，1表示选，2表示不选
    static void df(int u){
        if(u>n){    //递归出口，输出选择的数
            for(int i=1;i<=n;i++){
                if(st[i]==1)
                    System.out.print(i+" ");
            }
            System.out.println();
            return ;
        }
        //也可不恢复现场
        st[u] =2;   //未选择，递归第一个选的分支
        df(u+1);
        st[u] =0;   //恢复现场
        
        st[u]=1;//第二个分支，选了
        df(u+1);
        st[u]=0;//恢复现场
    }
    
    public static void main(String[] args){
        Scanner scan =new Scanner(System.in);
        n=scan.nextInt(); 
        df(1);
        scan.close();
    }
}

 递归实现排列型枚举

把 1∼n 这 n个整数排成一行后随机打乱顺序，输出所有可能的次序。

输入格式

一个整数 n。

输出格式

按照从小到大的顺序输出所有方案，每行 1 个。

首先，同一行相邻两个数用一个空格隔开。

其次，对于两个不同的行，对应下标的数一一比较，字典序较小的排在前面。

数据范围

1≤n≤9

输入样例：

3

输出样例：

1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1

import java.util.*;
public class Main{
    static int N=10;
    static int[] st=new int[N];         //存放第u个位置放什么数
    static boolean[] use=new boolean[N];//表示是否选用了i
    static int n;
    public static void dfs(int u){
        if(u>n){                    //递归出口,表示u个位置都已存放数
            for(int i=1;i<=n;i++){
                System.out.print(st[i]+" ");
            }
            System.out.println();
            return ;
        }
        //枚举每个分支
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(!use[i]){    //如果数i没有用过
                st[u]=i;    //第u个位置放i
                use[i]=true;
                dfs(u+1);
                //恢复现场
                st[u]=0;    //第u个位置未选用i
                use[i]= false;
            }
        } 
    }
    
    public static void main(String[] args){
        Scanner scan=new Scanner(System.in);
        n=scan.nextInt();
        dfs(1);
        scan.close();
    }
}

时间复杂度：n*(1+n+n(n-1)+......+n!)