mysql详解之B+树的查询时间复杂度

前言

B+ 树搜索时间复杂度到底是什么（这篇文章分析了全网各种关于b+树时间复杂度相关博客的结论，总结并分析了他们结论差异的原因）。
本文在此基础上，对文中的结论做了进一步思考（如果对解题过程不感兴趣，可以直接看最后的总结）。

正题

在这篇文章中，得知B+树在内存里的时间复杂度是：

$$O({\log }_2^m\cdot {\log }_m^n)$$

然后我就想比较一下B+树和二叉树的时间复杂度。我们知道二叉树的时间复杂度是O(logn)【计算机行业的简写：把底数2给省略了】，完整的数学公式是：

$$O({\log }_2^n)$$

注意：本文所有二叉树都指的平衡二叉树，并且和B+树一样把数据存在叶子节点上。（事实上，二叉树都时间复杂度，就是在这样的前提条件下计算出来的）。
其实文本的目的就是：观察B+树分支(度)的变化，对时间复杂度的影响（当分支为2时，就是二叉树）。

怎么比较呢？前者有两个变量，后者只有一个变量。我们可以给m固定几个数，然后观察几条函数曲线。

使用一个在线函数绘制工具

第一个是二叉树的时间复杂度函数。后三个分别是b+树的时间复杂度函数，m分别为3，4，5。

发现一个惊人的结果：他们看起来好像都完全重合了！

莫非 ${\log }_2^m\cdot {\log }_m^n={\log }_2^n$ ？

在网上搜了一下相关的对数公式，没什么解题思路。

难道他们只是约等于? 只是误差很小，看不出来？不过也有可能是自己高中数学知识还给老师了，不会解而已（因为我把这个函数曲线无论怎么放大，或者往后看，都是一样的，应该不至于误差那么小）。

但当我用m去假设，带入m=2。m=4。 m=8尝试化简，结合一个对数公式，居然找到解题思路了。

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解：

根据公式

$$\frac{m}{n}\cdot {\log }_a^b={\log }_{a^n}^{b^m}$$

设

$$m=2^x$$

变换（$n=n^1$）之后，根据前面的那个公式，可得到

$${\log }_2^m\cdot {\log }_m^n={\log }_2^{2^x}\cdot {\log }_{2^x}^{n^1}=x\cdot (\frac{1}{x}\cdot {\log }_2^n)={\log }_2^n$$

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稍微解释一下：m 为什么可以等于$2^x$
m在这里就是大于2的自然数，这句话其实就是问$2^x$能不能表示任意一个大于2的自然数。当然是可以的，因为$2^x$是一条大于0的连续曲线。

所以：在内存里，当元素一样，b+树在一个节点内也采用二分法查找元素（最快的方式）。b树和二叉树的时间复杂度都是O(logN)。

总结

在内存里（不考虑磁盘io的特殊性），n叉树的查询时间复杂度都是O(logN)。

其他

关于开头那篇博客的最后一句：

$${\log }_m^N可以简写为logN$$

我是不太认同的。

按照作者的意思，底数m的变化对结果影响不大，可以省略。

下面这几条曲线从上到下，依次对应左边从上到下的四个函数（m=2，m=3，m=100，m=1000）

看函数曲线，对数函数确实变化非常缓，底数对结果影响也没那么明显。

当n=1000000（一百万）时

二叉树需要遍历20次，而“1000叉树”只需要2次。如果在内存里，差别确实不大，都会非常快。

但作者那句话的前提是：考虑磁盘IO。也就是说这是在讨论类似数据库的场景。

在100万正常数据量的情况下，二叉树需要磁盘io达到20次，这肯定是不可接受的。

而m=1000就是mysql一般的分叉数量级（度数），这也就我们说的：mysql的B+索引树一般就是3层。