【算法】【欧几里得】数据结构与算法之欧几里得算法详解（附完整代码）

前言：

        完整代码在附录在末尾

一、什么是欧几里得算法

        欧几里得算法（又称辗转相除法）用于计算两个数的最大公约数，被称为世界上最古老的 算法。现在人们已无法确定该算法具体的提出时间，但其最早被发现记载于公元前 300 年欧几 里得的著作中，因此得以命名。

二、欧几里得算法的实现过程

        通常的做法是先对两个数字因式分解，找出共同的素数，然后求出最大公约数（GCD）。这样就能求出 两个数的最大公约数为多少。然而两个数字越大，因式分解就越难。此时，使用欧几里得算法就 能更高效地求解最大公约数。

什么是最大公约数（指两个或多个整数共有约数中最大的一个。）

我们以1112与695这两个数的最大公约数为例：

1.首先用较小的数字去除较大的数字，求出余 数。也就是对两个数字进行 mod 运算。除完后的余数为417。

2.接下来再用除数695和余数417进行mod运 算。结果为278。

3.继续重复同样的操作，对417和278进行mod 运算，结果为139。

4.对278和139进行mod运算，结果为0。也就 是说，278可以被139整除。

5.余数为0时，最后一次运算中的除数139就是 1112和695的最大公约数。

三、欧几里得算法的分析

1.为什么用欧几里得算法可以求得最大公约数 呢？我们结合图片来想一想。

2. 将最大公约数设为n，然后在直线上画出相应刻度。由于我们已知最大公约数为 139，所以为了方便理 解，在1112上画出8个刻度，在695上画出5个刻度。

3.这里和前面的运算一样，用小的数去除大的数，得到的余数为417。

4.继续重复mod运算。用417去除695，得到余数278。

5.继续做除法。由于278可以被 139整除，所 以……

6.余数为0。此时便能求得最大公约数n为139。

四、总结

        使用欧几里得算法，只需重复做除法便能求得最大公约数。这个算法最大的优势就 在于即使两个数字再大，只要按照步骤进行操作就能高效地求得两者的最大公约数。

附录1：一般方式实现（C语言实现）

#include 

int main()
{
	int data1, data2;
	int data;

	scanf_s("%d%d", &data1, &data2);
	if (data1 > 0 && data2 > 0)//判断数据合法
	{
		if (data1 > data2)//将两个数据大小位置固定 
		{
			int temp = data1;
			data1 = data2;
			data2 = temp;
		}

		data = data1 % data2;
		while (data)
		{
			data1 = data2;
			data2 = data;
			data = data1 % data2;
		}
		printf("%d\n", data2);//最后结果保存在data2中 
	}

	return 0;

}

附录2：递归方式实现

#include
int rec(int data1, int data2)
{
	int data, temp;
	
	data = data1 % data2;
	if (data == 0)
		return data2;//最后结果保存在data2中
	else
		rec(data2, data);
}
int main()
{
	int data1, data2;
	int data;

	scanf("%d%d", &data1, &data2);
	if (data1 > 0 && data2 > 0)
	{
		if (data1 > data2)//将两个数据大小位置固定 
		{
			int temp = data1;
			data1 = data2;
			data2 = temp;
		}
		printf("%d\n", rec(data1, data2)); 
	}

	return 0;

}

参考书籍《我的第一本算法书》