扩展欧几里得算法学习笔记

扩展欧几里得算法：

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前言：

学了两周数据结构发现数论图论忘光了，所以回来补一下，顺便写下笔记。

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前置需要：

欧几里得算法，裴蜀定理，脑子

欧几里得算法:即辗转相除法，$\gcd (a,b)=\gcd (b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$

裴蜀定理：若 $a,b$ 是整数,且 $\gcd (a,b)=d$，那么对于任意的整数$x$和$y$,$ax+by$ 都一定是$d$的倍数，特别地，一定存在整数$x,y$,使$ax+by=d$成立。

脑子

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用途：

扩展欧几里得算法$(exgcd)$一般用于判断并求解形如 $ax+by=c$ 的不定方程。（$a,b,c$ 为已知数，$x,y$ 为未知数）

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思想：

首先由裴蜀定理可知，方程有解必须满足 $\gcd (a,b)\mid c$,所以先讨 $ax+by=\gcd (a,b)$，再推至所有情况。

可以由欧几里得算法往后推：
$ax+by=\gcd (a,b)$
$=\gcd (b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$
$=\gcd (b,a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \ast b)$
$=b{x}_1+(a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \ast b)y_1$
$=b{x}_1+a{y}_1-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \ast b{y}_1$
$=a{y}_1+b(x_1-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \ast y_1)$

发现只要有了 $\gcd (b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$时的 $x_1,y_1$ ，就可以推出 $\gcd (a,b)$ 时的 $x$ 和 y y