空间向量法证明空间中的平行关系

空间向量法证明空间中的平行关系

方法二 空间向量法

使用情景：转化的直线或平面不容易找到，而一直条件方便建立空间直角坐标比较容易写出
解题步骤：

第一步 建立适当的空间直角坐标系；
第二步 分别写出各点的坐标，求出直线方向向量；
第三步 利用向量的关系得到直线和平面的关系即可.
【例】 如图所示，在正方体中，、分别是、的中点.

求证：平面.

【证明】如图所示，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．

设正方体的棱长为，则可得，，，，．

于是，，。

设平面的法向量是，

则，且

可得。

取，得，，

所以

又，，

所以，

又因为平面，所以平面.

【总结】用向量证明线面平行的方法有：
(1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；
(2)证明该直线方向向量与平面内某直线的方向向量平行；
(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示；
(4)本题易错点为：只证明，而忽视平面.